Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo. não é invertível
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de (com as operações usuais). Para isso, vamos usar o teste de subespaço:
Verificar se o vetor zero está em .
Verificar se é fechado em multiplicação por escalar.
Verificar se é fechado em soma.
Passo 2
Verificamos o vetor zero: a matriz zero não é invertível, pois . Logo
Passo 3
Multiplicação por escalar: seja e . Como não é invertível, . Então
ou seja, também não é invertível. Logo é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Soma de matrizes: precisamos ver se a soma de duas matrizes singulares é sempre singular. Se encontrarmos contra-exemplo onde mas , concluímos que não é subespaço. Considere
Cada uma tem determinante zero, logo A,Bin W. Porém
A+B = 1&0&0 0&1&0 0&0&1 = I3,
que é invertível (det(I3)=1). Assim A+Bnotin W.
Resposta
W não é subespaço vetorial, pois falha a clausura sob a soma (contra-exemplo acima).