Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
não é invertível

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = A in M3times3(R) mid A não é invertível ãéí
é um subespaço vetorial de M3times3(R) (com as operações usuais). Para isso, vamos usar o teste de subespaço:
  1. Verificar se o vetor zero está em W.
  2. Verificar se W é fechado em multiplicação por escalar.
  3. Verificar se W é fechado em soma.

Passo 2

Verificamos o vetor zero: a matriz zero 03 não é invertível, pois det(03)=0. Logo
03in W

Passo 3

Multiplicação por escalar: seja Ain W e lambdainR. Como A não é invertível, det(A)=0. Então
det(lambda A)=lambda^3det(A)=lambda^3cdot0=0,
ou seja, lambda A também não é invertível. Logo W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Soma de matrizes: precisamos ver se a soma de duas matrizes singulares é sempre singular. Se encontrarmos contra-exemplo onde A,Bin W mas A+Bnotin W, concluímos que não é subespaço. Considere
A = 1&0&0 0&1&0 0&0&0 , B = 0&0&0 0&0&0 0&0&1
Cada uma tem determinante zero, logo A,Bin W. Porém
A+B = 1&0&0 0&1&0 0&0&1 = I3,
que é invertível ( det(I3)=1). Assim A+Bnotin W.

Resposta

W não é subespaço vetorial, pois falha a clausura sob a soma (contra-exemplo acima).

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