Determine uma base e a dimensão da solução do sistema linear:
l x+y+z+w=0 2 x+y+3 z+4 w=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em R^4
x+y+z+w=0, 2x+y+3z+4w=0,
e pede uma base e a dimensão do seu espaço de soluções. O conteúdo usado será álgebra linear, mais especificamente o cálculo do núcleo de uma matriz associada ao sistema.

Passo 2

Vamos escolher
subtraindo a primeira da segunda obtemos
Em seguida, de (x+y=-z-w] segue

Passo 3

Assim a solução geral fica
(x,y,z,w) = l(-2z-3w,;z+2w,;z,;wr) = z,(-2,1,1,0) + w,(-3,2,0,1)
Dessa forma, os vetores ,(-2,1,1,0) e (-3,2,0,1) geram todo o espaço solução.

Passo 4

Como temos dois parâmetros livres ( z e w), a dimensão do espaço de soluções é
dim = 2

Resposta

Uma base do espaço solução é
,(-2,1,1,0),;(-3,2,0,1),
e sua dimensão é 2.

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