Dado o subespaço W=[(1,0,-1),(0,1,2),(1,-1,1)], determine uma base para W e a sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço WsubseteqR^3 gerado pelos vetores
v1=(1,0,-1), v2=(0,1,2), v3=(1,-1,1)
O objetivo é encontrar uma base de W e sua dimensão. Para isso vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, usando eliminação de Gauss.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3 e aplicamos eliminação de Gauss:
1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 -1& 2 & 1 ;xrightarrowsubstackR3 R3+R1 ; 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 2 & 2 ;xrightarrowsubstackR3 R3-2R2 ; 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 4
Como os três pivôs são não nulos, v1,v2,v3 são linearmente independentes.

Passo 3

Sendo independente e gerando W, o conjunto v1,v2,v3 é uma base de W. E como há três vetores na base, a dimensão de W é 3.

Resposta

Uma base de W é
(1,0,-1),,(0,1,2),,(1,-1,1),
e dim(W)=3.

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