Determine uma base e a dimensão do espaço gerado pelos vetores:
Mostre que o conjunto
é um subespaço de
, e determine uma base e sua dimensão.
Passo 1
No enunciado temos dois problemas distintos:
- Determinar uma base e a dimensão do subespaço de
gerado pelos vetores
- Mostrar que
é um subespaço de
e determinar uma base e a dimensão de
.
Passo 2
Analisamos a independência linear dos vetores
. Observe que eles são mutuamente ortogonais no produto interno usual em
. Por exemplo,
e o mesmo vale para qualquer par distinto
. Como cada
, essa ortogonalidade garante independência linear.
Passo 3
Como temos quatro vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão
, eles formam uma base de
e
Passo 4
Para
, verificamos que
é não vazio porque o polinômio zero satisfaz
. Se
, então
e para qualquer escalar
Isso mostra que
é subespaço de
.
Passo 5
Escrevendo um polinômio genérico
e impondo
, obtemos
Logo
e qualquer
é combinação linear de
e
.
Passo 6
Portanto,
é uma base de
e
Resposta
(a) Uma base do espaço gerado em
é
e sua dimensão é
.
(b)
é subespaço de
, uma base de
é
e
.