Determine uma base e a dimensão do espaço gerado pelos vetores:
(1,1,1,1), (1,1,-1,-1), (1,-1,1,-1), (1,-1,-1,1)
Mostre que o conjunto W=f in P2 mid f(1)=f(0) é um subespaço de P2, e determine uma base e sua dimensão.

Passo 1

No enunciado temos dois problemas distintos:
  1. Determinar uma base e a dimensão do subespaço de R^4 gerado pelos vetores
v1=(1,1,1,1), v2=(1,1,-1,-1), v3=(1,-1,1,-1), v4=(1,-1,-1,1)
  1. Mostrar que
W=finP2mid f(1)=f(0)
é um subespaço de P2 e determinar uma base e a dimensão de W.

Passo 2

Analisamos a independência linear dos vetores v1,dots,v4. Observe que eles são mutuamente ortogonais no produto interno usual em R^4. Por exemplo,
v1cdot v2 = 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot(-1) + 1cdot(-1) = 1+1-1-1 = 0,
e o mesmo vale para qualquer par distinto (vi,vj). Como cada vineq 0, essa ortogonalidade garante independência linear.

Passo 3

Como temos quatro vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, eles formam uma base de R^4 e
diml(spanv1,v2,v3,v4r) = 4

Passo 4

Para W, verificamos que W é não vazio porque o polinômio zero satisfaz 0(1)=0(0). Se f,gin W, então
(f+g)(1)=f(1)+g(1)=f(0)+g(0)=(f+g)(0),
e para qualquer escalar lambda
(lambda f)(1)=lambda f(1)=lambda f(0)=(lambda f)(0)
Isso mostra que W é subespaço de P2.

Passo 5

Escrevendo um polinômio genérico f(x)=ax^2+bx+c e impondo f(1)=f(0), obtemos
acdot1^2 + bcdot1 + c = c Longrightarrow a + b + c = c Longrightarrow b = -a
Logo
f(x)=a(x^2 - x) + ccdot1,
e qualquer fin W é combinação linear de x^2 - x e 1.

Passo 6

Portanto,
,x^2 - x,;1
é uma base de W e
dim(W) = 2

Resposta

(a) Uma base do espaço gerado em R^4 é
(1,1,1,1),,(1,1,-1,-1),,(1,-1,1,-1),,(1,-1,-1,1),
e sua dimensão é 4.
(b) W é subespaço de P2, uma base de W é
,x^2 - x,;1,
e dim(W)=2.

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