Seja W subseteq R^4 o subespaço gerado pelos vetores
v1=(1,1,-1,-1), v2=(2,3,-1,-2), v3=(1,4,1,-1)
Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o subespaço WsubseteqR^4 gerado pelos vetores
v1=(1,1,-1,-1), v2=(2,3,-1,-2), v3=(1,4,1,-1)
O que precisamos é achar uma base de W e sua dimensão, ou seja, verificar se esses vetores são linearmente independentes (e em caso afirmativo usá-los como base) ou extrair deles um subconjunto independente que gere W.

Passo 2

Para testar independência, considere a combinação linear nula
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3=0
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha1+2alpha2+alpha3=0, alpha1+3alpha2+4alpha3=0, -alpha1-alpha2+alpha3=0, -alpha1-2alpha2-alpha3=0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da primeira e segunda equações subtraímos para eliminar alpha1, obtendo
(alpha1+3alpha2+4alpha3)-(alpha1+2alpha2+alpha3)=0 Longrightarrow alpha2+3alpha3=0 Longrightarrow alpha2=-3alpha3
Da terceira equação,
-alpha1-alpha2+alpha3=0 Longrightarrow alpha1=-alpha2+alpha3=3alpha3+alpha3=4alpha3
Substituindo alpha1=4alpha3 e alpha2=-3alpha3 na primeira equação dá
4alpha3+2(-3alpha3)+alpha3=0 Longrightarrow 4alpha3-6alpha3+alpha3=-alpha3=0 Longrightarrow alpha3=0,
e daí alpha1=alpha2=0. Só há solução trivial, logo v1,v2,v3 são linearmente independentes.

Passo 4

Como são três vetores independentes em R^4, eles formam uma base de W e
dim W = 3

Resposta

Uma base de W é
,v1,v2,v3
e dim W = 3.

Exercícios relacionados