1. Determıne a base e a dimensao do subespaço W de P_{3} gerado por
p_{1}(t)=t^{3}+2 t^{2}-2 t+1, \quad p_{2}(t)=t^{3}+3 t^{2}-3 t+4, \quad p_{3}(t)=2 t^{3}+t^{2}-7 t+7 .

Passo 1

O enunciado dá três polinômios em P_{3} (polinômios de grau até 3) e pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço W gerado por eles. Os polinômios fornecidos são:
p_{1}(t)=t^{3}+2t^{2}-2t+1, \quad p_{2}(t)=t^{3}+3t^{2}-3t+4, \quad p_{3}(t)=2t^{3}+t^{2}-7t+7.
Informações úteis extraídas do enunciado (coeficientes relativos à base canônica \{t^{3},t^{2},t,1\}):
p_{1}\mapsto (1,\,2,\,-2,\,1),\qquad p_{2}\mapsto (1,\,3,\,-3,\,4),\qquad p_{3}\mapsto (2,\,1,\,-7,\,7).
Perguntas a responder:
  • Determinar uma base de W=\operatorname{span}\{p_{1},p_{2},p_{3}\}.
  • Determinar \dim W.

Passo 2

Ideia e método que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Cada polinômio em P_{3} pode ser representado por seu vetor de coeficientes na ordem (\text{coeficiente de }t^{3},\,t^{2},\,t,\,1). Assim o problema vira um problema de vetores em \mathbb{R}^{4}.
  • O subespaço W gerado por p_{1},p_{2},p_{3} tem dimensão igual ao posto (rank) do conjunto de vetores de coeficientes. Se esses vetores forem linearmente independentes, então eles formam uma base de W e \dim W=3. Se houver dependência, a base será um subconjunto independente deles.
  • Para verificar independência e achar o posto, montamos a matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores de coeficientes e fazemos eliminação de Gauss (redução por linhas). Vou usar as linhas iguais aos vetores (1,2,-2,1), (1,3,-3,4), (2,1,-7,7).
  • Lembrete rápido sobre eliminação de Gauss: usamos operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) para obter linhas com zeros abaixo dos pivôs. O número de linhas não nulas finais é o posto.

Passo 3

Montamos a matriz 3\times4 com os vetores de coeficientes como linhas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 \\\\ 1 & 3 & -3 & 4 \\\\ 2 & 1 & -7 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicamos eliminação de Gauss passo a passo, explicando cada operação:
Primeira operação: zerar abaixo do pivô da primeira coluna usando a primeira linha.
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}. Calculando: R_{2}=(1,3,-3,4)-(1,2,-2,1)=(0,1,-1,3).
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}. Calculando: R_{3}=(2,1,-7,7)-2(1,2,-2,1)=(2,1,-7,7)-(2,4,-4,2)=(0,-3,-3,5).
A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 3 \\\\ 0 & -3 & -3 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 5

Segunda operação: usar o pivô da segunda linha (segunda coluna) para zerar o elemento abaixo.
  • R_{3}\leftarrow R_{3}+3R_{2}. Calculando: R_{3}=(0,-3,-3,5)+3(0,1,-1,3)=(0,-3,-3,5)+(0,3,-3,9)=(0,0,-6,14).
Agora a matriz está
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & -6 & 14 \end{pmatrix}.

Passo 6

Observações sobre a matriz reduzida:
  • Todas as três linhas são não nulas: a terceira linha é (0,0,-6,14), claramente não nula.
  • Portanto o posto (rank) da matriz A é 3. Isso significa que os três vetores de coeficientes são linearmente independentes em \mathbb{R}^{4}.
  • Consequência: os polinômios p_{1},p_{2},p_{3} são linearmente independentes em P_{3}. Como eles geram W, eles formam uma base de W.
  • Então \dim W= posto =3.

Passo 7

Interpretação prática para a prova (dica amiga):
  • Se você montar a matriz dos coeficientes e, ao reduzir, encontrar três linhas independentes (não nulas), então pode responder direto: o conjunto gerador é uma base e a dimensão é 3.
  • Se houvesse dependência (por exemplo posto =2), escolheria como base os dois polinômios correspondentes às linhas-pivô (ou outro subconjunto independente) — procedimento semelhante ao escolher colunas-pivô se as polinômios estivessem como colunas.

Resposta

\{\,t^{3}+2t^{2}-2t+1,\;t^{3}+3t^{2}-3t+4,\;2t^{3}+t^{2}-7t+7\,\}
\dim W=3

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