- Determıne a base e a dimensao do subespaço
de
gerado por
Passo 1
O enunciado dá três polinômios em
(polinômios de grau até 3) e pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço
gerado por eles. Os polinômios fornecidos são:
Informações úteis extraídas do enunciado (coeficientes relativos à base canônica
):
Perguntas a responder:
- Determinar uma base de
. - Determinar
.
Passo 2
Ideia e método que vamos usar (explicado passo a passo):
- Cada polinômio em
pode ser representado por seu vetor de coeficientes na ordem . Assim o problema vira um problema de vetores em . - O subespaço
gerado por tem dimensão igual ao posto (rank) do conjunto de vetores de coeficientes. Se esses vetores forem linearmente independentes, então eles formam uma base de e . Se houver dependência, a base será um subconjunto independente deles. - Para verificar independência e achar o posto, montamos a matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores de coeficientes e fazemos eliminação de Gauss (redução por linhas). Vou usar as linhas iguais aos vetores
, , . - Lembrete rápido sobre eliminação de Gauss: usamos operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) para obter linhas com zeros abaixo dos pivôs. O número de linhas não nulas finais é o posto.
Passo 3
Montamos a matriz
com os vetores de coeficientes como linhas:
Passo 4
Aplicamos eliminação de Gauss passo a passo, explicando cada operação:
Primeira operação: zerar abaixo do pivô da primeira coluna usando a primeira linha.
-
. Calculando: -
. Calculando:
A matriz vira
Passo 5
Segunda operação: usar o pivô da segunda linha (segunda coluna) para zerar o elemento abaixo.
-
. Calculando:
Agora a matriz está
Passo 6
Observações sobre a matriz reduzida:
- Todas as três linhas são não nulas: a terceira linha é
, claramente não nula. - Portanto o posto (rank) da matriz
é . Isso significa que os três vetores de coeficientes são linearmente independentes em . - Consequência: os polinômios
são linearmente independentes em . Como eles geram , eles formam uma base de . - Então
posto .
Passo 7
Interpretação prática para a prova (dica amiga):
- Se você montar a matriz dos coeficientes e, ao reduzir, encontrar três linhas independentes (não nulas), então pode responder direto: o conjunto gerador é uma base e a dimensão é 3.
- Se houvesse dependência (por exemplo posto
), escolheria como base os dois polinômios correspondentes às linhas-pivô (ou outro subconjunto independente) — procedimento semelhante ao escolher colunas-pivô se as polinômios estivessem como colunas.