1. Sejam U_{1}, U_{2}, U_{3} subespaços de \mathbb{R}^{3} :
  • U_{1}=\{(a, b, c): a=c\}=\{(a, b, a): a, b \in \mathbb{R}\}=[(1,0,1),(0,1,0)],
  • U_{2}=\{(a, b, c): a+b+c=0\}=\{(-b-c, b, c): b, c \in \mathbb{R}\}=[(-1,1,0),(-1,0,1)],
  • U_{3}=\{(0,0, c)\}=[(0,0,1)].
Mostre que:
Verifique se cada uma dessas somas é direta.
(a) \mathbb{R}^{\mathrm{o}}=U_{1}+U_{2},

Passo 1

O enunciado nos dá três subespaços de \mathbb{R}^{3}. Para esta parte (a) usamos apenas U_{1} e U_{2}, cujas descrições são:
  • U_{1}=\{(a,b,c): a=c\}=\{(a,b,a): a,b\in\mathbb{R}\}=[(1,0,1),(0,1,0)].
  • U_{2}=\{(a,b,c): a+b+c=0\}=\{(-b-c,b,c): b,c\in\mathbb{R}\}=[(-1,1,0),(-1,0,1)].
A pergunta desta parte é verificar se a soma
\mathbb{R}^{3}=U_{1}+U_{2}
é verdadeira e, mais especificamente, se essa soma é direta (ou seja, se cada vetor de \mathbb{R}^{3} tem representação única como soma de um vetor de U_{1} com um vetor de U_{2}). Portanto precisamos:
  1. Mostrar que qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} pode ser escrito como soma de um vetor de U_{1} com um vetor de U_{2} (isso prova U_{1}+U_{2}=\mathbb{R}^{3}).
  2. Verificar se U_{1}\cap U_{2}=\{(0,0,0)\}. Se a interseção for apenas o vetor zero, a soma é direta; se houver vetores não nulos na interseção, a soma não é direta.

Passo 2

Lembra o que é a soma de subespaços e o que significa ser direta:
  • Definição: U_{1}+U_{2}=\{u_{1}+u_{2}:u_{1}\in U_{1},\,u_{2}\in U_{2}\}.
  • A soma é direta (escreve-se U_{1}\oplus U_{2}) se, além de U_{1}+U_{2} ser o subespaço desejado, vale U_{1}\cap U_{2}=\{0\}. Uma maneira prática: a soma é direta se a representação v=u_{1}+u_{2} de cada vetor v for única; isso acontece exatamente quando a interseção é \{0\}.
Vou primeiro construir uma fórmula explícita que decompõe um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} como soma de um elemento de U_{1} e um de U_{2}.

Passo 3

Construindo a decomposição explícita.
Seja um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Proponho escolher um vetor u_{1}\in U_{1} e definir u_{2}=(x,y,z)-u_{1}; então mostrarei que esse u_{2} pertence a U_{2}. Como U_{1} consiste de vetores da forma (a,b,a), tome
u_{1}=\left(\dfrac{x+z}{2},\,y,\,\dfrac{x+z}{2}\right).
Observações sobre esta escolha:
  • u_{1} tem a forma (a,b,a) com a=(x+z)/2 e b=y, logo u_{1}\in U_{1}.
Agora calcule u_{2}=(x,y,z)-u_{1}:
u_{2}=\Big(x-\dfrac{x+z}{2},\;y-y,\;z-\dfrac{x+z}{2}\Big) =\Big(\dfrac{x-z}{2},\;0,\;\dfrac{z-x}{2}\Big).
Verifico que u_{2}\in U_{2} verificando a condição a+b+c=0:
\dfrac{x-z}{2}+0+\dfrac{z-x}{2}=0.
Portanto u_{2} satisfaz a+b+c=0 e assim u_{2}\in U_{2}.
Concluímos que qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} é soma de u_{1}\in U_{1} com u_{2}\in U_{2}. Logo
U_{1}+U_{2}=\mathbb{R}^{3}.
(Dica prática para prova: dar uma fórmula construtiva como a acima é ótimo em prova — mostra existência de decomposição sem resolver sistemas com muitos incógnitas.)

Passo 4

Determinando a interseção U_{1}\cap U_{2}.
Um vetor v está em U_{1}\cap U_{2} se e somente se ele tiver a forma v=(a,b,a) (por pertencer a U_{1}) e também satisfizer a+b+a=0 (por pertencer a U_{2}). A condição da soma das coordenadas dá:
a+b+a=0\quad\Longrightarrow\quad 2a+b=0\quad\Longrightarrow\quad b=-2a.
Assim qualquer vetor da interseção é da forma
v=(a,-2a,a)=a(1,-2,1),\quad a\in\mathbb{R}.
Isso mostra que U_{1}\cap U_{2}=\operatorname{span}\{(1,-2,1)\}, que é um subespaço unidimensional. Em particular, a interseção contém vetores não nulos (quando a\neq 0).

Passo 5

Conclusão sobre se a soma é direta.
Já provamos que U_{1}+U_{2}=\mathbb{R}^{3}. Porém U_{1}\cap U_{2}\neq\{0\} (porque (1,-2,1)\in U_{1}\cap U_{2} é não nulo). Como a interseção não é apenas o vetor zero, a soma não é direta. Em outras palavras, representações de um mesmo vetor como soma u_{1}+u_{2} não são únicas: pode-se adicionar/subtrair vetores da interseção para obter outras representações.

Resposta

\mathbb{R}^{3}=U_{1}+U_{2}\newline
A soma não é direta; U_{1}\cap U_{2}=\operatorname{span}\{(1,-2,1)\}\neq\{0\}.

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