- Sejam
subespaços de
:
-
,
-
,
-
.
Mostre que:
Verifique se cada uma dessas somas é direta.
(a)
,
Verifique se cada uma dessas somas é direta.
Passo 1
O enunciado nos dá três subespaços de
. Para esta parte (a) usamos apenas
e
, cujas descrições são:
-
. -
.
A pergunta desta parte é verificar se a soma
é verdadeira e, mais especificamente, se essa soma é direta (ou seja, se cada vetor de
tem representação única como soma de um vetor de
com um vetor de
). Portanto precisamos:
- Mostrar que qualquer vetor de
pode ser escrito como soma de um vetor de com um vetor de (isso prova ). - Verificar se
. Se a interseção for apenas o vetor zero, a soma é direta; se houver vetores não nulos na interseção, a soma não é direta.
Passo 2
Lembra o que é a soma de subespaços e o que significa ser direta:
- Definição:
. - A soma é direta (escreve-se
) se, além de ser o subespaço desejado, vale . Uma maneira prática: a soma é direta se a representação de cada vetor for única; isso acontece exatamente quando a interseção é .
Vou primeiro construir uma fórmula explícita que decompõe um vetor arbitrário
como soma de um elemento de
e um de
.
Passo 3
Construindo a decomposição explícita.
Seja um vetor arbitrário
. Proponho escolher um vetor
e definir
; então mostrarei que esse
pertence a
. Como
consiste de vetores da forma
, tome
Observações sobre esta escolha:
-
tem a forma com e , logo .
Agora calcule
:
Verifico que
verificando a condição
:
Portanto
satisfaz
e assim
.
Concluímos que qualquer vetor
é soma de
com
. Logo
(Dica prática para prova: dar uma fórmula construtiva como a acima é ótimo em prova — mostra existência de decomposição sem resolver sistemas com muitos incógnitas.)
Passo 4
Determinando a interseção
.
Um vetor
está em
se e somente se ele tiver a forma
(por pertencer a
) e também satisfizer
(por pertencer a
). A condição da soma das coordenadas dá:
Assim qualquer vetor da interseção é da forma
Isso mostra que
, que é um subespaço unidimensional. Em particular, a interseção contém vetores não nulos (quando
).
Passo 5
Conclusão sobre se a soma é direta.
Já provamos que
. Porém
(porque
é não nulo). Como a interseção não é apenas o vetor zero, a soma não é direta. Em outras palavras, representações de um mesmo vetor como soma
não são únicas: pode-se adicionar/subtrair vetores da interseção para obter outras representações.
Resposta
A soma não é direta;