Determine a base e a dimensão do subespaço W de \mathbb{R}^{4} onde W=\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y+t=0\}

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x + 2y + t = 0\}.
Estamos em álgebra linear, trabalhando com subespaços de \mathbb{R}^4 definidos por uma equação linear. Para resolver, vamos isolar uma variável e parametrizar os vetores de W.

Passo 2

Da condição x + 2y + t = 0 isolamos x:
x = -2y - t.
Isso mostra que podemos escolher livremente y, z e t como parâmetros.

Passo 3

Seja y = s, z = u e t = v. Então
(x,y,z,t) = (-2s - v,\; s,\; u,\; v) = s(-2,1,0,0) + u(0,0,1,0) + v(-1,0,0,1).
Isso expressa todo vetor de W como combinação linear de três vetores.

Passo 4

Os vetores
\mathbf{v}_1 = (-2,1,0,0),\quad \mathbf{v}_2 = (0,0,1,0),\quad \mathbf{v}_3 = (-1,0,0,1)
são LI e geram W. Portanto são uma base de W, e como são três vetores, a dimensão de W é 3.

Resposta

Uma base de W é
\{\,(-2,1,0,0),\;(0,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\},
e \dim(W)=3.

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