Determine a base e a dimensão do subespaço W de \mathbb{R}^{4} onde W=\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 y+t=0\}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \mid x - 3y + t = 0\}.
O conteúdo é resolver uma única equação linear em \mathbb{R}^4. Para encontrar uma base e a dimensão de W, vamos expressar um vetor genérico de W em função de parâmetros livres.

Passo 2

Da equação x - 3y + t = 0 isolamos x:
x = 3y - t.
Logo, um vetor qualquer de W pode ser escrito como
(x,y,z,t) = (3y - t,\;y,\;z,\;t).

Passo 3

Introduzimos parâmetros livres para y,z,t. Seja y = s, z = u e t = v. Então
(3y - t,\;y,\;z,\;t) = (3s - v,\;s,\;u,\;v) = s\,(3,1,0,0) \;+\; u\,(0,0,1,0)\;+\; v\,(-1,0,0,1).

Passo 4

Pelos coeficientes de s,u,v, extraímos três vetores
\mathbf{b}_1 = (3,1,0,0),\quad \mathbf{b}_2 = (0,0,1,0),\quad \mathbf{b}_3 = (-1,0,0,1).
Esses vetores geram W e são linearmente independentes, pois só a combinação trivial os anula.

Passo 5

Como encontramos três vetores independentes que formam uma base de W, conclui-se que
\dim(W) = 3.

Resposta

Uma base de W é
\{(3,1,0,0),\;(0,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\},
e \dim(W)=3.

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