Verificar se as seguint es matrizes geram o espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) :
\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix},\quad A_4=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&2\end{pmatrix}
geram o espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}). Sabemos que \dim M_{2}(\mathbb{R})=4. Logo, basta mostrar que essas quatro matrizes são linearmente independentes (então formam base) ou, equivalentemente, que sua combinação linear nula só ocorre com todos os coeficientes iguais a zero.

Passo 2

Para testar a independência, associamos cada matriz A_i ao vetor em \mathbb{R}^4 listando as entradas na ordem (a,b,c,d) de \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}. Assim:
v_1=(1,0,0,1),\;v_2=(1,1,0,0),\;v_3=(0,0,1,1),\;v_4=(0,1,1,2).
Procuramos \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3+\delta v_4=(0,0,0,0).

Passo 3

Escrevendo a combinação nas quatro coordenadas, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\\ \beta+\delta=0,\\\ \gamma+\delta=0,\\\ \alpha+\gamma+2\delta=0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo:
  1. de \alpha+\beta=0 vem \beta=-\alpha,
  2. de \beta+\delta=0 vem \delta=-\beta=\alpha,
  3. de \gamma+\delta=0 vem \gamma=-\delta=-\alpha,
  4. substituindo em \alpha+\gamma+2\delta=0 \alpha+(-\alpha)+2\alpha=2\alpha=0, logo \alpha=0.
Daí \beta=\gamma=\delta=0. Só há solução trivial, ou seja, \{v_1,v_2,v_3,v_4\} é L.I.

Passo 5

Como temos quatro vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão quatro, eles formam base de M_{2}(\mathbb{R}) e, portanto, geram todo o espaço.

Resposta

Sim, essas matrizes geram M_{2}(\mathbb{R}).

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