Seja A uma matriz n \times n tal que A^{2}=0. Mostre que (I-A) é inversível e que (I-A)^{-1}=I+A.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz n\times n com A^{2}=0 e pede para mostrar que I - A é invertível, encontrando sua inversa. O conteúdo usado aqui é a definição de matriz inversa: uma matriz M é inversível se existe B tal que
M\,B = I \quad\text{e}\quad B\,M = I.

Passo 2

Para encontrar a inversa de I - A, note que A^{2}=0 lembra uma soma truncada da série geométrica. Faz sentido tentar
B = I + A
como candidato a inversa, pois a “parte quadrática” em A vai anular.

Passo 3

Verificamos primeiro a multiplicação à esquerda:
(I - A)(I + A) = I\cdot I + I\cdot A - A\cdot I - A\cdot A = I + A - A - A^2 = I - A^2.
Como A^2=0, segue
(I - A)(I + A) = I.

Passo 4

Agora, como I e A comutam, o cálculo à direita é análogo:
(I + A)(I - A) = I - A^2 = I.
Ou seja, I + A é inversa à esquerda e à direita de I - A.

Resposta

(I - A)^{-1} = I + A.

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