Seja
uma matriz
tal que
. Mostre que
é inversível e que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
com
e pede para mostrar que
é invertível, encontrando sua inversa. O conteúdo usado aqui é a definição de matriz inversa: uma matriz
é inversível se existe
tal que
Passo 2
Para encontrar a inversa de
, note que
lembra uma soma truncada da série geométrica. Faz sentido tentar
como candidato a inversa, pois a “parte quadrática” em
vai anular.
Passo 3
Verificamos primeiro a multiplicação à esquerda:
Como
, segue
Passo 4
Agora, como
e
comutam, o cálculo à direita é análogo:
Ou seja,
é inversa à esquerda e à direita de
.