Determine uma base e a dimensão do subespaço W das soluções do sistema linear homogêneo dado por:
lx+2 y+2 z+t+3 w=0 x+2 y+2 z+t+w=0 3 x+6 y+8 z+t+5 w=0

Passo 1

Estamos com o subespaço
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear por eliminação de Gauss para encontrar a forma geral da solução, e daí obter uma base e a dimensão de (W].

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss sem o vetor de termos independentes (pois é homogêneo):
1 & 2 & 2 & 1 & 3 1 & 2 & 2 & 1 & 1 3 & 6 & 8 & 1 & 5
Fazendo R2 R2-R1 e R3 R3-3R1 obtemos
1 & 2 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 2 & -2 & -4
Em seguida escalonamos cada linha pivô: divide-se a segunda linha por -2 e a terceira por 2, ficando
1 & 2 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 & -2

Passo 3

Os pivôs estão nas colunas 1, 3 e 5, correspondendo às variáveis x,z,w. As variáveis y e t são livres. Chamemos
y=s, t=u, s,uinR

Passo 4

Da linha 2 (pivô em w) temos
w=0
Da linha 3 (pivô em z) temos
z - t -2w=0 Longrightarrow z = u
Da linha 1 (pivô em x) temos
x +2y +2z +t +3w=0 Longrightarrow x +2s +2u+u +0=0 Longrightarrow x=-2s-3u

Passo 5

A solução geral é
(x,y,z,t,w) =(-2s-3u,;s,;u,;u,;0) = s,(-2,1,0,0,0) + u,(-3,0,1,1,0)
Logo uma base de W é
,(-2,1,0,0,0),;(-3,0,1,1,0),
e a dimensão de W é 2.

Resposta

Uma base de W é (-2,1,0,0,0),,(-3,0,1,1,0) e dim W=2.

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