Considere o sistema linear com 3 equações e com 3 incógnitas representado matricialmente por , onde
Sobre essas matrizes e o sistema linear associado, assinale o que for correto com C e o errado com E. Justifique cada afirmativa com argumentos matemáticos.
a) ( ) O produto da transposta da matriz A pela matriz B é igual à matriz identidade, isto é, A cdot A^-1=I.
b) ( ) A não possui inversa.
c) ( ) O produto da transposta da matriz A pela matriz B é uma matriz cujas entradas fornecem a única solução do sistema A X=B.
d) ( ) Se a matriz B tivesse todas as entradas iguais a zero, então o sistema A X=B não teria solução.
e) ( ) O determinante da matriz A é igual a 0 .
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
onde
O conteúdo principal é verificar a invertibilidade de , entender seu determinante e a relação entre transposta e inversa (matriz ortogonal), para então classificar cada item.]
Passo 2
Calculemos det(A) por expansão em cofatores na primeira linha. Denotando
Observando as colunas de A, verifica-se que são vetores unitários e mutuamente ortogonais, isto é,
A^T A = I3times3
Isso caracteriza A como matriz ortogonal, logo
A^-1 = A^T
Em particular, a única solução do sistema A,X=B é
X = A^-1B = A^T B,
cujo vetor resultante em cada entrada dá o valor de x,y,z.
Passo 4
Agora avaliamos cada afirmativa:
a) Falsa. Confunde transposta com inversa: Acdot A^-1=I é verdade mas não envolve B, e não se escreve “produto da transposta pela B é a identidade”.
b) Falsa. Demonstramos det(A)=1neq0, então Apossui inversa.
c) Verdadeira. Como A^-1=A^T, a solução X=A^-1B é exatamente X=A^T B.
d) Falsa. Se B=0, então X=0 é solução (única, pois A é invertível), logo o sistema tem solução.
e) Falsa. Novamente, det(A)=1neq0.