Dados
subespaços do espaço vetorial
determinar, nos seguintes casos:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
,
.
(i) uma base e a dimensão de
.
(ii) uma base e a dimensão de
.
(iii) uma base e a dimensão de
.
(iv) uma base e a dimensão de
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(i) uma base e a dimensão de
(ii) uma base e a dimensão de
(iii) uma base e a dimensão de
(iv) uma base e a dimensão de
Passo 1
Vamos tratar quatro casos em
. Para cada subespaço definido por equações lineares, parametrizamos as variáveis livres para extrair uma base e calcular sua dimensão. Para cada subespaço gerado por vetores, aplicamos eliminação linear para extrair uma base independente. Para as somas e intersecções, usamos a fórmula
e/ou resolvemos sistemas conjuntos para obter bases e dimensões.
e/ou resolvemos sistemas conjuntos para obter bases e dimensões.
Passo 2
Caso (a):
U é dado por . Seja
,
, então
, de onde
.
Logo uma base de é
e
.
W é dado por . Parametrizando
obtemos
.
Logo uma base de é
e
.
U é dado por
Logo uma base de
W é dado por
Logo uma base de
Passo 3
Ainda no caso (a), para a intersecção
impomos
e
, resultando em
. Logo
,
base ,
.
Daí
,
ou seja . Uma base conveniente de
é a base canônica
.
base
Daí
ou seja
Passo 4
Caso (b):
U é dado por
U é dado por
Impondo
temos
, de modo que
.
Base de :
,
.
W é dado por
Base de
W é dado por
logo
.
Base de :
,
.
Base de
Passo 5
Ainda no caso (b),
satisfaz
e
, gerando
.
Base ,
.
Logo
.
Uma base de pode ser, por exemplo,
.
Base
Logo
Uma base de
Passo 6
Caso (c):
U é o plano , ou seja
.
Base de :
,
.
W é gerado pelos vetores
,
,
,
.
Analisando combinações lineares, vemos que
e
,
logo apenas e
são independentes.
Base de :
,
.
U é o plano
Base de
W é gerado pelos vetores
Analisando combinações lineares, vemos que
logo apenas
Base de
Passo 7
Ainda no caso (c), para
escrevemos
de onde
.
Base ,
.
Logo , ou seja
.
Uma base de é, por exemplo,
.
Base
Logo
Uma base de
Passo 8
Caso (d):
U é dado por
U é dado por
Parametrizando
obtémse
Base de :
,
.
W é dado por
Base de
W é dado por
isto é
. Parametrizando
obtemos
Base de :
,
.
Base de
Passo 9
Ainda no caso (d), para
Subtraindo, obtémse .
Logo
.
Base de :
,
.
Finalmente
,
ou seja .
Uma base de é a canônica
.
Base de
Finalmente
ou seja
Uma base de
Resposta
(a)
(i) Base de :
,
.
(ii) Base de :
,
.
(iii) Base de :
,
.
(iv) Base de :
,
.
(i) Base de
(ii) Base de
(iii) Base de
(iv) Base de
(b)
(i) Base de :
,
.
(ii) Base de :
,
.
(iii) Base de :
,
.
(iv) Base de :
,
.
(i) Base de
(ii) Base de
(iii) Base de
(iv) Base de
(c)
(i) Base de :
,
.
(ii) Base de :
,
.
(iii) Base de :
,
.
(iv) Base de :
,
.
(i) Base de
(ii) Base de
(iii) Base de
(iv) Base de
(d)
(i) Base de :
,
.
(ii) Base de :
,
.
(iii) Base de :
,
.
(iv) Base de :
,
.
(i) Base de
(ii) Base de
(iii) Base de
(iv) Base de