Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar, nos seguintes casos:
(a) U=(x, y, z) in R^3 / x+y+z=0, W=(x, y, 0) / x, y in R, V=R^3.
(b) U=(x, y, z, t) in R^4 / x+y=t-z=0, W=(x, y, z, t) in R^4 / z=t=0, V=R^4.
(c) U=(x, y, z) in R^3 / x=0, W=[(2,2,0),(1,2,3),(7,12,21),(-1,-2,-3)], V=R^3.
(d) U=(x, y, z, t) in R^4 / x-y+t+z=0, W=(x, y, z, t) in R^4 / x+y-t+z=0, V=R^4.
(i) uma base e a dimensão de U.
(ii) uma base e a dimensão de W.
(iii) uma base e a dimensão de U+W.
(iv) uma base e a dimensão de U cap W .

Passo 1

Vamos tratar quatro casos em R^n. Para cada subespaço definido por equações lineares, parametrizamos as variáveis livres para extrair uma base e calcular sua dimensão. Para cada subespaço gerado por vetores, aplicamos eliminação linear para extrair uma base independente. Para as somas e intersecções, usamos a fórmula
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W)
e/ou resolvemos sistemas conjuntos para obter bases e dimensões.

Passo 2

Caso (a):
U é dado por (x,y,z)mid x+y+z=0. Seja x=s, y=t, então z=-s-t, de onde
(x,y,z) = s(1,0,-1)+t(0,1,-1).
Logo uma base de U é
(1,0,-1),(0,1,-1) e dim(U)=2.
W é dado por (x,y,0)mid x,yinR. Parametrizando x=s,y=t obtemos
(x,y,0)=s(1,0,0)+t(0,1,0).
Logo uma base de W é
(1,0,0),(0,1,0) e dim(W)=2.

Passo 3

Ainda no caso (a), para a intersecção Ucap W impomos z=0 e x+y+z=0, resultando em x+y=0. Logo
(x,y,0)=s(1,-1,0),
base (1,-1,0), dim(Ucap W)=1.
Daí
dim(U+W)=2+2-1=3,
ou seja U+W=R^3. Uma base conveniente de U+W é a base canônica
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Passo 4

Caso (b):
U é dado por
x+y=0, t-z=0
Impondo y=a,;z=b temos x=-a,;t=b, de modo que
(x,y,z,t)=a(-1,1,0,0)+b(0,0,1,1).
Base de U: (-1,1,0,0),(0,0,1,1), dim(U)=2.
W é dado por
z=0, t=0,
logo (x,y,0,0)=a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0).
Base de W: (1,0,0,0),(0,1,0,0), dim(W)=2.

Passo 5

Ainda no caso (b), Ucap W satisfaz z=t=0 e x+y=0, gerando
(x,y,0,0)=s(1,-1,0,0).
Base (1,-1,0,0), dim(Ucap W)=1.
Logo
dim(U+W)=2+2-1=3.
Uma base de U+W pode ser, por exemplo,
(-1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,0).

Passo 6

Caso (c):
U é o plano x=0, ou seja (0,y,z)=y(0,1,0)+z(0,0,1).
Base de U: (0,1,0),(0,0,1), dim(U)=2.
W é gerado pelos vetores
(2,2,0), (1,2,3), (7,12,21), (-1,-2,-3).
Analisando combinações lineares, vemos que
(7,12,21)=7,(1,2,3) e
(-1,-2,-3)=-1,(1,2,3),
logo apenas (2,2,0) e (1,2,3) são independentes.
Base de W: (2,2,0),(1,2,3), dim(W)=2.

Passo 7

Ainda no caso (c), para Ucap W escrevemos
(2s+t,,2s+2t,,3t)in Uimplies 2s+t=0implies t=-2s,
de onde
(x,y,z)=(0,-2s,-6s)=s,(0,1,3).
Base (0,1,3), dim(Ucap W)=1.
Logo dim(U+W)=2+2-1=3, ou seja U+W=R^3.
Uma base de U+W é, por exemplo,
(0,1,0),(0,0,1),(2,2,0).

Passo 8

Caso (d):
U é dado por
x-y+z+t=0
Parametrizando y=a,z=b,t=c obtém­se
(x,y,z,t)=(a-b-c,a,b,c) =a(1,1,0,0)+b(-1,0,1,0)+c(-1,0,0,1)
Base de U: (1,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1), dim(U)=3.
W é dado por
x+y+z-t=0,
isto é x=-y-z+t. Parametrizando y=a,z=b,t=c obtemos
(x,y,z,t)=(c-a-b,a,b,c)=a(-1,1,0,0)+b(-1,0,1,0)+c(1,0,0,1)
Base de W: (-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1), dim(W)=3.

Passo 9

Ainda no caso (d), para
Subtraindo, obtém­se .
Logo
.
Base de : , .
Finalmente
,
ou seja .
Uma base de é a canônica
.

Resposta

(a)
(i) Base de U: (1,0,-1),(0,1,-1), dim(U)=2.
(ii) Base de W: (1,0,0),(0,1,0), dim(W)=2.
(iii) Base de U+W: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), dim(U+W)=3.
(iv) Base de Ucap W: (1,-1,0), dim(Ucap W)=1.
(b)
(i) Base de U: (-1,1,0,0),(0,0,1,1), dim(U)=2.
(ii) Base de W: (1,0,0,0),(0,1,0,0), dim(W)=2.
(iii) Base de U+W: (-1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,0), dim(U+W)=3.
(iv) Base de Ucap W: (1,-1,0,0), dim(Ucap W)=1.
(c)
(i) Base de U: (0,1,0),(0,0,1), dim(U)=2.
(ii) Base de W: (2,2,0),(1,2,3), dim(W)=2.
(iii) Base de U+W: (0,1,0),(0,0,1),(2,2,0), dim(U+W)=3.
(iv) Base de Ucap W: (0,1,3), dim(Ucap W)=1.
(d)
(i) Base de U: (1,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1), dim(U)=3.
(ii) Base de W: (-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1), dim(W)=3.
(iii) Base de U+W: (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1), dim(U+W)=4.
(iv) Base de Ucap W: (-1,0,1,0),(0,1,0,1), dim(Ucap W)=2.

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