Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
W4=(x, y, z, t) in R^4 ; 2 x-2 y=0 e t+x=z.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço W4subsetR^4 definido pelas duas equações lineares
2x - 2y = 0 e t + x = z
O conteúdo é resolver um sistema linear homogêneo em quatro variáveis, usar parametrização para obter a forma vetorial geral, e então extrair base e dimensão.

Passo 2

De 2x - 2y = 0 segue
x - y = 0 Longrightarrow y = x
De t + x = z segue
z = x + t

Passo 3

Escolhemos x e t como variáveis livres. Chamando
s = x, u = t,
um vetor genérico de W4 é
(x,y,z,t) = (s,;s,;s+u,;u)
Reescrevendo em forma vetorial,
(s,s,s+u,u) = s,(1,1,1,0) ;+; u,(0,0,1,1)

Passo 4

Os vetores (1,1,1,0) e (0,0,1,1) geram W4. Eles são claramente linearmente independentes (nenhum múltiplo escalar não trivial entre eles), logo formam uma base de W4. Como temos dois vetores na base, a dimensão de W4 é 2.

Resposta

Base de W4: (1,1,1,0),,(0,0,1,1)
Dimensão de W4: 2

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