Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M2(R) :
(cca & b c & d) ; c=a-3 b e d=0;

Passo 1

O enunciado nos dá um subespaço de M2(R) formado pelas matrizes
a & b c & d
que satisfazem as equações lineares c = a - 3b e d = 0.
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais: para encontrar dimensão e base, iremos parametrizar as incógnitas livres e escrever o elemento genérico como combinação linear de matrizes geradoras.

Passo 2

Como a e b são livres e c e d estão fixados por
c = a - 3b, d = 0,
o elemento genérico do subespaço é
a & b a - 3b & 0

Passo 3

Reescrevendo a matriz genérica em função de a e b, temos
a & b a - 3b & 0 = a 1 & 0 1 & 0 ;+; b 0 & 1 -3 & 0
Chamando
M1 = 1 & 01 & 0, M2 = 0 & 1-3 & 0,
vemos que M1,M2 gera o subespaço. Além disso, se xM1+yM2=0, olhando em cada entrada concluímos que x=0 e y=0, logo são linearmente independentes. Portanto formam uma base e a dimensão do subespaço é o número de vetores dessa base, ou seja, 2.

Resposta

A dimensão do subespaço é 2 e uma base é
1 & 01 & 0, ; 0 & 1-3 & 0

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