Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de : e ;
Passo 1
O enunciado nos dá um subespaço de formado pelas matrizes
que satisfazem as equações lineares e .
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais: para encontrar dimensão e base, iremos parametrizar as incógnitas livres e escrever o elemento genérico como combinação linear de matrizes geradoras.
Passo 2
Como e são livres e e estão fixados por
o elemento genérico do subespaço é
Passo 3
Reescrevendo a matriz genérica em função de e , temos
Chamando
M1 = 1 & 01 & 0, M2 = 0 & 1-3 & 0,
vemos que M1,M2 gera o subespaço. Além disso, se xM1+yM2=0, olhando em cada entrada concluímos que x=0 e y=0, logo são linearmente independentes. Portanto formam uma base e a dimensão do subespaço é o número de vetores dessa base, ou seja, 2.