Determine uma base para o espaço gerado pelo conjuntos de polinômios , e .
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos os polinômios
e precisamos encontrar uma base do subespaço . O conteúdo é independência linear e representação em coeficientes em relação à base canônica .
Passo 2
Vamos escrever cada como vetor de coeficientes na ordem :
Como só aparecem as coordenadas 1,2 e 5, basta analisar a submatriz de dimensão formada por essas linhas.
Passo 3
Construímos a matriz
cuja colunas são os vetores de restritos às coordenadas de . Pela eliminação de Gauss obtém-se posto , logo .
Passo 4
Três colunas são linearmente independentes, por exemplo as três primeiras. De fato o determinante da submatriz 1&1&11&1&-20&-1&1
é -3neq0, então p1,p2,p3 é um conjunto independente. Além disso p4 é combinação linear de p1,p2,p3, então essas três polinômios geram todo S.