Determine uma base para o espaço gerado pelo conjuntos de polinômios p1(t)=t^5+t^4, p2(t)=t^5+t^4-t, p3(t)=t^5-2 t^4+t e p4(t)=t^5-4 t^4+2 t.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os polinômios
p1(t)=t^5+t^4,;p2(t)=t^5+t^4-t,;p3(t)=t^5-2t^4+t,;p4(t)=t^5-4t^4+2t
e precisamos encontrar uma base do subespaço S=spanp1,p2,p3,p4. O conteúdo é independência linear e representação em coeficientes em relação à base canônica t^5,t^4,t^3,t^2,t,1.

Passo 2

Vamos escrever cada pi como vetor de coeficientes na ordem (t^5,t^4,t^3,t^2,t,1):
p1sim(1,,1,,0,,0,,0,,0), p2sim(1,,1,,0,,0,,-1,,0), p3sim(1,,-2,,0,,0,,1,,0), p4sim(1,,-4,,0,,0,,2,,0)
Como só aparecem as coordenadas 1,2 e 5, basta analisar a submatriz de dimensão 3times4 formada por essas linhas.

Passo 3

Construímos a matriz
cuja colunas são os vetores de restritos às coordenadas de . Pela eliminação de Gauss obtém-se posto , logo .

Passo 4

Três colunas são linearmente independentes, por exemplo as três primeiras. De fato o determinante da submatriz
1&1&11&1&-20&-1&1
é -3neq0, então p1,p2,p3 é um conjunto independente. Além disso p4 é combinação linear de p1,p2,p3, então essas três polinômios geram todo S.

Passo 5

Uma descrição mais simples do subespaço é
S=a,t^5+b,t^4+c,tmid a,b,cin R,
portanto uma base canônica de S é t^5,;t^4,;t.

Resposta

Uma base de S é, por exemplo,
p1,p2,p3 ou, equiva<=ntemente, t^5,;t^4,;t

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