Determine se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base de R^4.
(c) lw1=(4,-2,12,8) w2=(-6,12,9,-3) w3=(-10,5,-20,-30) w4=(-14,28,21,-7)

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
w1=(4,-2,12,8), w2=(-6,12,9,-3), w3=(-10,5,-20,-30), w4=(-14,28,21,-7)
Para saber se eles formam base de R^4 precisamos verificar se são linearmente independentes, ou seja, se a matriz que têm esses vetores como linhas (ou colunas) tem posto 4. Vamos fazer eliminação de Gauss nessa matriz.

Passo 2

Montamos a matriz com os wi como linhas e aplicamos Gauss na primeira coluna, usando o pivô 4 de w1:
M = 4 & -2 & 12 & 8 -6 & 12 & 9 & -3 -10 & 5 & -20 & -30 -14 & 28 & 21 & -7
Fazendo
R2 to R2 + tfrac32,R1, R3 to R3 + tfrac52,R1, R4 to R4 + tfrac72,R1
obtém-se
4 & -2 & 12 & 8 0 & 9 & 27 & 9 0 & 0 & 10 & -10 0 & 21 & 63 & 21

Passo 3

Agora usamos o pivô 9 em (2,2) para zerar acima e abaixo:
R1 to R1 + tfrac29,R2, R4 to R4 - tfrac73,R2
e fica
4 & 0 & 18 & 10 0 & 9 & 27 & 9 0 & 0 & 10 & -10 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Usamos o pivô 10 em (3,3) para zerar acima:
R1 to R1 - tfrac95,R3, R2 to R2 - tfrac2710,R3
resultando em
4 & 0 & 0 & 28 0 & 9 & 0 & 36 0 & 0 & 10 & -10 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

A matriz escalonada tem apenas três pivôs não nulos, logo
posto(M)=3<4. Isso mostra que os vetores são linearmente dependentes, portanto não formam uma base de R^4.

Resposta

Os vetores não formam base de R^4.

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