Determine uma base para o espaço gerado pelos seguintes conjuntos de vetores.
(a) lu1=(1,2,2,-1) u2=(2,3,2,5) u3=(-1,4,3,-1) u4=(2,9,3,5)

Passo 1

O enunciado pede uma base para o espaço gerado pelos vetores
u1=(1,2,2,-1), u2=(2,3,2,5), u3=(-1,4,3,-1), u4=(2,9,3,5)
em R^4. Como temos quatro vetores em R^4, vamos verificar via eliminação de Gauss se eles são linearmente independentes. Se forem, já formam uma base; caso contrário, escolhemos as colunas pivô como base.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são u1,u2,u3,u4:
A= 1 & 2 & -1 & 2 2 & 3 & 4 & 9 2 & 2 & 3 & 3 -1& 5 & -1 & 5
Faremos eliminação de Gauss para levá-la à forma escalonada e identificar pivôs.

Passo 3

Aplicando operações linha a linha (mostramos apenas o resultado até forma escalonada):
1 & 0 & 11 & 12 0 & 1 & -6 & -5 0 & 0 & -7 & -11 0 & 0 & 40 & 42 ;xrightarrowdividir linha 3 por -7; 1 & 0 & 11 & 12 0 & 1 & -6 & -5 0 & 0 & 1 & tfrac117 0 & 0 & 40 & 42 ;xrightarrowsubstackeliminar coluna 3na linha 4; 1 & 0 & 11 & 12 0 & 1 & -6 & -5 0 & 0 & 1 & tfrac117 0 & 0 & 0 & -tfrac1467
Ficou um pivô não-nulo em cada coluna, logo quatro pivôs.

Passo 4

Como aparecem pivôs em todas as colunas, concluímos que u1,u2,u3,u4 são linearmente independentes em R^4. Assim, eles já formam uma base para o subespaço que geram.

Resposta

,u1,u2,u3,u4 é uma base do espaço gerado pelos vetores dados.

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