Matemática Aplicada à Engenharia - 3^a Prova
Nome/RA:
2. (3 Pontos) Propriedades, convolução e Equação Integrodiferencial.
(0.5 ponto) a) Sabendo que L[t^n f(t)]=(-1)^n d^nd s^n F(s), determine L[t^2 e^-t].

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de t^2e^-t usando a propriedade
Ll[t^n f(t)r]=(-1)^nd^nds^nF(s),
onde F(s)=L[f(t)]. Aqui temos n=2 e f(t)=e^-t.

Passo 2

Primeiro calculamos
F(s)=L[e^-t] =integral0^inftye^-te^-st,dt =integral0^inftye^-(s+1)t,dt =1s+1,
válido para Re(s)>-1.

Passo 3

Aplicando a propriedade com n=2:
L[t^2e^-t] =(-1)^2d^2ds^2l(1s+1r) =d^2ds^2l(1s+1r)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas em s:
ddsl(1s+1r) =-1(s+1)^2,
d^2ds^2l(1s+1r) =ddsl(-1(s+1)^2r) =2;1(s+1)^3

Resposta

Ll[t^2e^-tr] =2(s+1)^3

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