Matemática Aplicada à Engenharia - 3^a Prova
Nome/RA:
2. (3 Pontos) Propriedades, convolução e Equação Integrodiferencial.
(2 pontos) c) Utilizando o resultado do item anterior e a metodologia da transformada de Laplace resolva a equação
x^prime(t)+2 x(t)+integral0^t x(tau) d tau=t, com x(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, usando transformada de Laplace, a equação integrodiferencial
x'(t)+2,x(t)+integral0^tx(tau),dtau = t,
com a condição inicial x(0)=1.
O conteúdo utilizado será:
  • Transformada de Laplace de derivadas: Lx'=sX(s)-x(0).
  • Transformada de Laplace de integrais: Lintegral0^tx(tau),dtau=tfrac1sX(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
l[sX(s)-x(0)r] + 2,X(s) + 1sX(s) = 1s^2
Substituindo x(0)=1 e reunindo termos:
sX(s)-1 +2X(s)+1sX(s)=1s^2 Longrightarrow (s+2+tfrac1s),X(s) = 1s^2+1
Multiplicando por s:
(s^2+2s+1),X(s) = 1s + s Longrightarrow X(s) = s+tfrac1s(s+1)^2 = s^2+1s,(s+1)^2

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
s^2+1s,(s+1)^2 = As + Bs+1 + C(s+1)^2
Igualando numeradores:
s^2+1 = A(s+1)^2 + B,s(s+1) + C,s
Comparando coeficientes obtemos A=1, B=0, C=-2.
Logo
X(s) = 1s - 2(s+1)^2

Passo 4

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
x(t) = L^-1ltfrac1sr -2,L^-1ltfrac1(s+1)^2r = 1 -2,t,e^-t

Resposta

x(t)=1 -2,t,e^-t

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