Determine uma base para o espaço vetorial abaixo e diga qual é a sua dimensão:
W=\left\{1+t, 2-t^{2}, t+t^{2}\right\} \subseteq P_{2}

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
W = \{\,1 + t,\;2 - t^{2},\;t + t^{2}\}\subseteq P_{2},
ou seja, vamos usar o conceito de combinação linear e independência linear em P_{2}.

Passo 2

Para testar independência, escrevemos
\alpha(1+t)+\beta(2 - t^{2})+\gamma(t+t^{2}) = 0
como polinômio nulo em P_{2}. Igualando coeficientes de 1, t e t^{2}, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\\ \alpha + \gamma = 0,\\\\ -\,\beta + \gamma = 0. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação \gamma = -\alpha.
Da terceira equação \gamma = \beta, logo \beta = -\alpha.
Substituindo na primeira:
\alpha + 2(-\alpha)=0 \implies -\alpha=0 \implies \alpha=0,
e portanto \beta=0 e \gamma=0. Assim os três polinômios são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos três vetores independentes em P_{2} (que tem dimensão 3), eles formam uma base de W e
\dim(W)=3.

Resposta

Uma base de W é
\{\,1+t,\;2 - t^{2},\;t + t^{2}\},
e \dim(W)=3.

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