Determine uma base para o espaço vetorial abaixo e diga qual é a sua dimensão:
Passo 1
O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
ou seja, vamos usar o conceito de combinação linear e independência linear em
.
Passo 2
Para testar independência, escrevemos
como polinômio nulo em
. Igualando coeficientes de
,
e
, obtemos o sistema
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação .
Da terceira equação , logo
.
Substituindo na primeira:
Da segunda equação
Da terceira equação
Substituindo na primeira:
e portanto
e
. Assim os três polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos três vetores independentes em
(que tem dimensão 3), eles formam uma base de
e
Resposta
Uma base de
é
e
.