Determine uma base para o espaço vetorial abaixo e diga qual é a sua dimensão:
U=\left\{(x, y, z, t, q) \in \mathbb{R}^{5} \mid x+y+z=0, x-t-2 q=0\right. e \left.z+t-2 q=0\right\}

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U=\{(x,y,z,t,q)\in\mathbb{R}^5\mid x+y+z=0,\;x-t-2q=0,\;z+t-2q=0\}
e pede uma base de U e sua dimensão. Vamos usar solução de sistemas lineares e parametrização de variáveis.

Passo 2

Anotamos as três equações:
(1)\;x+y+z=0,
(2)\;x-t-2q=0,
(3)\;z+t-2q=0.
São três restrições lineares em cinco variáveis, então esperamos 5-3=2 graus de liberdade (dimensão 2).

Passo 3

Da (1) temos
x=-\,y - z.
Substituindo em (2):
-\,y - z \;-\;t\;-\;2q=0 \quad\Longrightarrow\quad t=-\,y - z -2q.
Na (3) colocamos esse t:
z +(-\,y - z -2q)-2q=0 \quad\Longrightarrow\quad -\,y -2q=2q \quad\Longrightarrow\quad y=-4q.

Passo 4

Agora já temos
y=-4q,\quad x=-y-z=4q - z,\quad t=-y - z -2q=4q - z -2q=2q - z.
Ficam livres z e q. Chamemos
a=z,\quad b=q.

Passo 5

A solução geral é
(x,y,z,t,q) =(4b - a,\,-4b,\;a,\;2b - a,\;b) =a(-1,0,1,-1,0)+b(4,-4,0,2,1).
Logo uma base de U é formada pelos vetores
v_1=(-1,0,1,-1,0), \quad v_2=(4,-4,0,2,1),
e a dimensão de U é 2.

Resposta

Uma base é
\{\,(-1,0,1,-1,0),\,(4,-4,0,2,1)\},
e \dim(U)=2.

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