Determine uma base para o espaço vetorial abaixo e diga qual é a sua dimensão:
S=\{(0,1,2,-1),(1,1,4,0),(1,2,2,-5),(0,0,1,1),(1,0,1,0)\} \subseteq \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede uma base de
\displaystyle S=\{(0,1,2,-1),\,(1,1,4,0),\,(1,2,2,-5),\,(0,0,1,1),\,(1,0,1,0)\}\subseteq\mathbb{R}^4
e sua dimensão. Para isso, vamos verificar a independência linear desses vetores usando eliminação de Gauss, encontrando um subconjunto maximal de vetores independentes que gere S.

Passo 2

Escrevemos a matriz cujas linhas são os vetores de S e aplicamos operações de linha para escaloná-la:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 4 & 0\\\\ 1 & 2 & 2 & -5\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\text{Gauss}}\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & -3\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na forma escalonada aparecem pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Isso significa que a dimensão do espaço gerado é 3.

Passo 4

Os pivôs vieram originalmente das linhas correspondentes aos vetores
(1,1,4,0),\quad(0,1,2,-1),\quad(0,0,1,1)
em S. Esses três vetores são independentes e geram todo S.

Passo 5

Portanto, uma base de S é
\{(1,1,4,0),\;(0,1,2,-1),\;(0,0,1,1)\}
e a dimensão de S é 3.

Resposta

Base de S:
\{(1,1,4,0),\,(0,1,2,-1),\,(0,0,1,1)\}
Dimensão de S: 3

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