Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
D: M_{22} \rightarrow M_{22}, D(X)=A X onde A=\left[
\right]
D: M_{22} \rightarrow M_{22}, D(X)=A X onde A=\left[
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
onde
Queremos encontrar uma base de
e dizer se
é injetiva. O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares (imagem, núcleo e injetividade) e o fato de que multiplicar à esquerda por uma matriz invertível preserva dimensão.]
Passo 2
Calculemos o determinante de
:
Logo
é invertível. Isso implica que, para todo
, existe
tal que
. Portanto
Passo 3
Como a imagem de
é todo
(que tem dimensão
), podemos tomar como base o conjunto canônico
onde
é a matriz que tem
na entrada
e zero nas demais.
Passo 4
O núcleo de
é
Como
é invertível, a única solução de
é
. Logo
, o que mostra que
é injetiva.
Resposta
Base de
:
A transformação
é injetiva.