Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
C: R^{3} \rightarrow R^{3}, C(x, y, z)=\left(x+\frac{y}{2}, y+\frac{z}{2}, z+\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
C\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad C(x,y,z)=\Bigl(x+\tfrac{y}{2},\;y+\tfrac{z}{2},\;z+\tfrac{x}{2}\Bigr).
Queremos uma base de \mathrm{Im}\text{(C)} (o espaço gerado pelas colunas da matriz de C) e saber se C é injetiva. Para isso, vamos escrever C na base canônica, calcular o posto (ou determinante) e usar o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Na base canônica \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}, onde
\mathbf{e}_1=(1,0,0),
\mathbf{e}_2=(0,1,0),
\mathbf{e}_3=(0,0,1),
as colunas da matriz de C são
C(\mathbf{e}_1) =\bigl(1,0,\tfrac12\bigr),\quad C(\mathbf{e}_2) =\bigl(\tfrac12,1,0\bigr),\quad C(\mathbf{e}_3) =\bigl(0,\tfrac12,1\bigr).
Logo a matriz associada é
A = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & 0\\\\ 0 & 1 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para ver se as colunas são independentes, calculamos
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\\ 0 & 1\end{pmatrix} -\tfrac12\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & \tfrac12\\tfrac12 & 1\end{pmatrix} +0\cdot\ldots =1 - \tfrac12\bigl(0 - \tfrac14\bigr) =1 + \tfrac18 =\tfrac{9}{8}.

Passo 4

Como \det(A)=\tfrac{9}{8}\neq 0, temos \mathrm{rank}(A)=3. Isso implica
\mathrm{Im}\text{(C)}=\mathbb{R}^3. Uma base para \mathrm{Im}\text{(C)} pode ser
\Bigl\{(1,0,\tfrac12),\;(\tfrac12,1,0),\;(0,\tfrac12,1)\Bigr\}
ou, equivalentemente, a base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 5

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, \dim\ker\text{(C)}=3-\mathrm{rank}(A)=0. Então \ker\text{(C)}=\{0\}, de onde C é injetiva.

Resposta

Uma base de \mathrm{Im}\text{(C)} é
\bigl\{(1,0,\tfrac12),\;(\tfrac12,1,0),\;(0,\tfrac12,1)\bigr\},
e C é injetiva.

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