Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
C: R^{3} \rightarrow R^{3}, C(x, y, z)=\left(x+\frac{y}{2}, y+\frac{z}{2}, z+\frac{x}{2}\right)
Queremos uma base de \mathrm{Im}\text{(C)} (o espaço gerado pelas colunas da matriz de C) e saber se C é injetiva. Para isso, vamos escrever C na base canônica, calcular o posto (ou determinante) e usar o Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Na base canônica \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}, onde \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1),
as colunas da matriz de C são
Como \det(A)=\tfrac{9}{8}\neq 0, temos \mathrm{rank}(A)=3. Isso implica \mathrm{Im}\text{(C)}=\mathbb{R}^3. Uma base para \mathrm{Im}\text{(C)} pode ser