Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
B: R^{4} \rightarrow R^{4}, B(x, y, z, t)=(x+y, z+t, x+z, y+t)

Passo 1

O enunciado pede a base da imagem de
\;B\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 definida por
B(x,y,z,t) = (\,x+y,\;z+t,\;x+z,\;y+t\,)
e que digamos se B é injetiva. Para isso vamos tratar B como uma matriz cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos, calcular o posto (dimensão da imagem) e usar a relação posto + nulidade = dimensão do domínio para verificar injetividade.

Passo 2

Calculemos B(e_i) para os vetores canônicos
e_1=(1,0,0,0),\quad e_2=(0,1,0,0),\quad e_3=(0,0,1,0),\quad e_4=(0,0,0,1).
Temos
B(e_1)=(1,0,1,0),\quad B(e_2)=(1,0,0,1),\quad B(e_3)=(0,1,1,0),\quad B(e_4)=(0,1,0,1).
Esses quatro vetores geram \operatorname{Im}B.

Passo 3

Para achar o posto, note que existe uma relação não trivial entre eles. Por exemplo,
B(e_1)+B(e_4)=(1,1,1,1) \quad\text{e}\quad B(e_2)+B(e_3)=(1,1,1,1),
logo
B(e_1)+B(e_4)\;-\;B(e_2)\;-\;B(e_3)=0
é uma combinação linear não trivial. Portanto, desses quatro vetores, apenas três são independentes, e o posto de B é 3. Outra forma de ver a mesma conclusão é notar que todo vetor (u,v,w,q) na imagem satisfaz
u+v=(x+y)+(z+t)=x+y+z+t=(x+z)+(y+t)=w+q,
ou seja, \operatorname{Im}B é o hiperplano de \mathbb{R}^4 definido por
u+v=w+q,
que tem dimensão 3.

Passo 4

Escolhendo três vetores independentes entre os obtidos, por exemplo
v_1=B(e_1)=(1,0,1,0),\quad v_2=B(e_2)=(1,0,0,1),\quad v_3=B(e_3)=(0,1,1,0),
vemos que se
a\,v_1+b\,v_2+c\,v_3=0
então, pela segunda componente b= -a, pela terceira a+c=0 e pela quarta b=0, o que força a=b=c=0. Logo \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de \operatorname{Im}B.

Passo 5

Como \dim\operatorname{Im}B=3<4, a nulidade de B é 4-3=1. Logo o núcleo não é trivial e B não é injetiva.

Resposta

Uma base para a imagem de B é
\{(1,0,1,0),\;(1,0,0,1),\;(0,1,1,0)\},
e B não é injetiva.

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