Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
B: R^{4} \rightarrow R^{4}, B(x, y, z, t)=(x+y, z+t, x+z, y+t)
B: R^{4} \rightarrow R^{4}, B(x, y, z, t)=(x+y, z+t, x+z, y+t)
Passo 1
O enunciado pede a base da imagem de
definida por
e que digamos se
é injetiva. Para isso vamos tratar
como uma matriz cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos, calcular o posto (dimensão da imagem) e usar a relação posto
nulidade
dimensão do domínio para verificar injetividade.
Passo 2
Calculemos
para os vetores canônicos
Temos
Esses quatro vetores geram
.
Passo 3
Para achar o posto, note que existe uma relação não trivial entre eles. Por exemplo,
logo
é uma combinação linear não trivial. Portanto, desses quatro vetores, apenas três são independentes, e o posto de
é
. Outra forma de ver a mesma conclusão é notar que todo vetor
na imagem satisfaz
ou seja,
é o hiperplano de
definido por
que tem dimensão
.
Passo 4
Escolhendo três vetores independentes entre os obtidos, por exemplo
vemos que se
então, pela segunda componente
, pela terceira
e pela quarta
, o que força
. Logo
é uma base de
.
Passo 5
Como
, a nulidade de
é
. Logo o núcleo não é trivial e
não é injetiva.
Resposta
Uma base para a imagem de
é
e
não é injetiva.