Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo:
T: R^2 R^2, T(x, y)=(x-y, x-y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^2toR^2
definida por
T(x,y)=(x-y,;x-y),
e pede uma base para ImT. Para isso, vamos usar que a imagem de T é o subespaço de R^2 gerado por todos os vetores da forma T(x,y).

Passo 2

Note que, para qualquer (x,y)inR^2,
T(x,y)=(x-y,;x-y)=(x-y),(1,1)
Isto mostra que todo vetor da imagem é um múltiplo escalar de (1,1). Logo
ImT =(x-y)(1,1)mid(x,y)inR^2 =span(1,1)

Resposta

Uma base para ImT é
(1,1)

Exercícios relacionados