Seja r a reta interseção dos planos alpha: x+y+z-11=0 e beta: x-4 y+5 z-10=0. Determine a equação do plano que contém a reta r, e:
é perpendicular a alpha.

Passo 1

O enunciado pede o plano P que contém a reta r, interseção dos planos
alpha: x+y+z-11=0
e
beta: x-4y+5z-10=0,
e que é perpendicular a alpha.
Conteúdo: geometria analítica em R^3, usando vetores normais e produto vetorial para obter direção de reta e normal de plano.

Passo 2

Para achar a direção de r, tomamos o produto vetorial dos vetores normais de alpha e beta.
Os normais são
nalpha=(1,1,1), nbeta=(1,-4,5)
Logo
vr = nalpha times nbeta = i& j& k 1&1&1 1&-4&5 =(9,,-4,,-5)

Passo 3

Escolhemos um ponto
Subtraindo, . Assim .

Passo 4

O plano P contém r, logo seu vetor normal nP é perpendicular a vr. Como P é perpendicular a alpha, deve ter nPperp nalpha. Assim
nP = vr times nalpha = i& j& k 9&-4&-5 1&1&1 =(1,,-14,;13)

Passo 5

A equação de P escrita em forma ponto-normal é
nPcdotl((x,y,z)-(9,1,1)r)=0,
isto é
1(x-9)-14(y-1)+13(z-1)=0
ou seja
x-14y+13z-8=0

Resposta

x-14y+13z-8=0

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