Seja r a reta interseção dos planos alpha: x+y+z-11=0 e beta: x-4 y+5 z-10=0. Determine a equação do plano que contém a reta r, e:
é paralelo à reta x=-y2=-z.

Passo 1

O enunciado pede um plano que contenha a reta de interseção r dos planos
alpha: x+y+z-11=0 e
beta: x-4y+5z-10=0, e que seja paralelo à reta dada por
x=- y2=-z
Para resolver, vamos precisar de: 1) o vetor diretor de r, 2) o vetor diretor da reta paralela, 3) o vetor normal do plano como produto vetorial desses dois vetores, e 4) um ponto em r para determinar a constante do plano.

Passo 2

Encontramos o vetor normal de alpha como
nalpha=(1,1,1)
e o normal de beta como
nbeta=(1,-4,5).
O vetor diretor de r é
v= nalphatimes nbeta =(1,1,1)times(1,-4,5)=(9,-4,-5)

Passo 3

A reta dada por x=-tfrac y2=-z tem vetor diretor obtido definindo esse valor comum igual a t:
x=t, y=-2t, z=-t,
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u=(1,-2,-1).

Passo 4

O plano procurado deve ter vetor normal n perpendicular tanto a v quanto a u, portanto
n= vtimes u =(9,-4,-5)times(1,-2,-1)=(-6,4,-14)
Podemos simplificar multiplicando por -tfrac12, ficando
n=(3,-2,7).

Passo 5

Agora a equação geral do plano é
Falta achar
Escolhendo e . Então o ponto
pertence a .

Passo 6

Substituindo P na equação do plano:
3cdot0-2cdot5+7cdot6+D=0 Longrightarrow -10+42+D=0 Longrightarrow D=-32

Resposta

A equação do plano é
3x-2y+7z-32=0

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