Seja r a reta interseção dos planos alpha: x+y+z-11=0 e beta: x-4 y+5 z-10=0. Determine a equação do plano que contém a reta r, e:
dista 3 unidades da origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede o(s) plano(s) que contêm a reta
,r=alphacapbeta com
alpha:;x+y+z-11=0, beta:;x-4y+5z-10=0,
e cuja distância à origem é 3.
Conteúdos usados: vetor normal de plano, família de planos por interseção de dois, fórmula da distância de um plano à origem.

Passo 2

Vamos achar a direção de r como o produto vetorial dos normais de alpha e beta.
Os vetores normais são
nalpha=(1,1,1), nbeta=(1,-4,5)
Então
vec v = nalpha times nbeta = det i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -4 & 5 = (9,-4,-5)

Passo 3

A família de todos os planos que contém r é dada por
alpha + lambda,beta:; (1+lambda)x + (1-4lambda)y + (1+5lambda)z - (11+10lambda)=0
O vetor normal desse plano é
n(lambda) = l(1+lambda,;1-4lambda,;1+5lambdar),
e o termo independente é D(lambda)=-(11+10lambda).

Passo 4

A condição de distância da origem igual a 3 é
l|D(lambda)r||n(lambda)| =3 ;Longrightarrow; l|11+10lambdar|raiz(1+lambda)^2+(1-4lambda)^2+(1+5lambda)^2 =3
Calculando o denominador:
(1+lambda)^2+(1-4lambda)^2+(1+5lambda)^2 =3 +4lambda +42lambda^2
Logo
(11+10lambda)^2 =9l(3+4lambda+42lambda^2r)

Passo 5

Expandindo e simplificando obtemos a equação
139lambda^2 -92lambda -47 = 0,
cuja solução é
lambda = 1 ou lambda = -47139

Passo 6

Para lambda=1 o plano é
2x -3y +6z -21 = 0
Para lambda=-tfrac47139, multiplicando tudo por 139, o plano é
92x +327y -96z -1059 = 0

Resposta

2x -3y +6z -21 = 0
92x +327y -96z -1059 = 0

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