Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo:
T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(x+y, z+t, x+z, y+t)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformação linear
Tcolon R^4 to R^4, T(x,y,z,t)=(x+y,;z+t,;x+z,;y+t)
e queremos encontrar uma base para a imagem de T. Para isso, basta calcular as imagens dos vetores da base canônica de R^4, obter um conjunto gerador da imagem e extrair dele um subconjunto de vetores linearmente independentes.

Passo 2

Calcular T nos vetores da base canônica e1,e2,e3,e4:
T(e1)&=T(1,0,0,0)=(1+0,;0+0,;1+0,;0+0)=(1,0,1,0), T(e2)&=T(0,1,0,0)=(0+1,;0+0,;0+0,;1+0)=(1,0,0,1), T(e3)&=T(0,0,1,0)=(0+0,;1+0,;0+1,;0+0)=(0,1,1,0), T(e4)&=T(0,0,0,1)=(0+0,;0+1,;0+0,;0+1)=(0,1,0,1)
Logo
Im(T)=span(1,0,1,0),,(1,0,0,1),,(0,1,1,0),,(0,1,0,1)

Passo 3

Para extrair uma base, note a relação linear entre esses vetores:
(1,0,1,0)+(0,1,0,1);-;(1,0,0,1);-;(0,1,1,0)=0
Isto é, o quarto vetor é combinação dos três primeiros, logo basta ficar com os três primeiros para gerar toda a imagem.

Passo 4

Verificamos que
(1,0,1,0), (1,0,0,1) e (0,1,1,0)
são linearmente independentes (qualquer combinação a(1,0,1,0)+b(1,0,0,1)+c(0,1,1,0)=0 leva a a=b=c=0).

Resposta

Uma possível base para Im(T) é
(1,0,1,0),,(1,0,0,1),,(0,1,1,0)

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