Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a transformação linear
e queremos encontrar uma base para a imagem de
. Para isso, basta calcular as imagens dos vetores da base canônica de
, obter um conjunto gerador da imagem e extrair dele um subconjunto de vetores linearmente independentes.
Passo 2
Calcular
nos vetores da base canônica
:
Logo
Passo 3
Para extrair uma base, note a relação linear entre esses vetores:
Isto é, o quarto vetor é combinação dos três primeiros, logo basta ficar com os três primeiros para gerar toda a imagem.
Passo 4
Verificamos que
,
e
são linearmente independentes (qualquer combinação leva a
).
são linearmente independentes (qualquer combinação
Resposta
Uma possível base para
é