Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo:
Passo 1
O enunciado pede uma base para , sendo
O conteúdo é espaço imagem de uma transformação linear. Para isso, vamos escrever a matriz de na base canônica, extrair suas colunas e verificar seu posto.
Passo 2
Vamos ver as imagens dos vetores da base canônica :
Logo, a matriz de em relação à base canônica é
e suas colunas são exatamente T(e1), T(e2) e T(e3).
Passo 3
Para determinar Im(T), usamos que
Im(T)=SpanlT(e1),T(e2),T(e3)r
Basta verificar se essas colunas são linearmente independentes. Note que, multiplicando-as por 2 para eliminar frações, obtemos
v1=(1,0,1), v2=(1,1,0), v3=(0,1,1)
Calculando det da matriz cujo colunas são v1,v2,v3: