Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y2, y+z2, z+x2)

Passo 1

O enunciado pede uma base para Im(T), sendo
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=l(tfracx+y2,,tfracy+z2,,tfracz+x2r)
O conteúdo é espaço imagem de uma transformação linear. Para isso, vamos escrever a matriz de T na base canônica, extrair suas colunas e verificar seu posto.

Passo 2

Vamos ver as imagens dos vetores da base canônica e1,e2,e3:
T(e1)=T(1,0,0)=l(tfrac12,0,tfrac12r), T(e2)=l(tfrac12,tfrac12,0r), T(e3)=l(0,tfrac12,tfrac12r)
Logo, a matriz de T em relação à base canônica é
A=12 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 ,
e suas colunas são exatamente T(e1), T(e2) e T(e3).

Passo 3

Para determinar Im(T), usamos que
Im(T)=SpanlT(e1),T(e2),T(e3)r
Basta verificar se essas colunas são linearmente independentes. Note que, multiplicando-as por 2 para eliminar frações, obtemos
v1=(1,0,1), v2=(1,1,0), v3=(0,1,1)
Calculando det da matriz cujo colunas são v1,v2,v3:
det 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 =1cdot(1cdot1-1cdot0)-1cdot(0cdot1-1cdot1)=1-(-1)=2neq0
Como o determinante é não nulo, v1,v2,v3 é L.I. e tem dimensão 3.

Passo 4

Concluímos que Im(T) tem dimensão 3, ou seja
Im(T)=R^3
Assim, qualquer base de R^3 serve, e em particular podemos escolher as colunas de A (ou seus múltiplos sem fração).

Resposta

Uma base para Im(T) é, por exemplo,
l(tfrac12,0,tfrac12),;(tfrac12,tfrac12,0),;(0,tfrac12,tfrac12)r

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