O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;2x+y,\;z).
A pergunta é: determinar uma base da imagem (ou conjunto imagem, também chamado de alcance) de T.
Informações relevantes fornecidas:
A regra explícita de T em coordenadas: primeira componente x+y, segunda componente 2x+y, terceira componente z.
Domínio e contradomínio são \mathbb{R}^3.
Passo 2
Representar T pela matriz associada na base canônica facilita visualizar a imagem. Para isso, calculo T aplicado aos vetores da base canônica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) — essas imagens formam as colunas da matriz.
Calculo:
Com c_3=0 resta c_1 v_1 + c_2 v_2 = 0, e já vimos que isso força c_1=c_2=0. Portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes em conjunto.
Passo 6
Concluir a partir da independência: como \{v_1,v_2,v_3\} gera \operatorname{Im}(T) (são as colunas da matriz) e é linearmente independente, esse conjunto é uma base da imagem. Além disso, como são três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, a imagem é todo \mathbb{R}^3.