Determine uma base da imagem de
T(x, y, z)=(x+y, 2 x+y, z) .

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;2x+y,\;z).
A pergunta é: determinar uma base da imagem (ou conjunto imagem, também chamado de alcance) de T.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra explícita de T em coordenadas: primeira componente x+y, segunda componente 2x+y, terceira componente z.
  • Domínio e contradomínio são \mathbb{R}^3.

Passo 2

Representar T pela matriz associada na base canônica facilita visualizar a imagem. Para isso, calculo T aplicado aos vetores da base canônica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) — essas imagens formam as colunas da matriz.
Calculo:
T(1,0,0)=(1,2,0),\qquad T(0,1,0)=(1,1,0),\qquad T(0,0,1)=(0,0,1).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
cujas colunas são os vetores
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Lembrete conceitual: a imagem de uma transformação linear representada por uma matriz é o espaço gerado (span) pelas colunas dessa matriz. Ou seja,
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
Agora precisamos encontrar uma base para esse espaço, ou seja, um subconjunto desses vetores que seja linearmente independente e gere a imagem.

Passo 4

Verifico dependência linear entre v_1 e v_2. Considere escalares a,b tais que
a v_1 + b v_2 = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
a(1)+b(1)=0,\qquad a(2)+b(1)=0,\qquad a(0)+b(0)=0.
Da terceira equação obtemos 0=0 (sem informação). Das duas primeiras:
a+b=0,\qquad 2a+b=0.
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se a=0. Então b=0. Logo v_1 e v_2 são linearmente independentes.

Passo 5

Verifico independência envolvendo v_3. Suponha escalares c_1,c_2,c_3 com
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0.
Observando a terceira componente da soma:
c_1\cdot 0 + c_2\cdot 0 + c_3\cdot 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_3=0.
Com c_3=0 resta c_1 v_1 + c_2 v_2 = 0, e já vimos que isso força c_1=c_2=0. Portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes em conjunto.

Passo 6

Concluir a partir da independência: como \{v_1,v_2,v_3\} gera \operatorname{Im}(T) (são as colunas da matriz) e é linearmente independente, esse conjunto é uma base da imagem. Além disso, como são três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, a imagem é todo \mathbb{R}^3.

Resposta

\{(1,2,0),\;(1,1,0),\;(0,0,1)\}

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