Verifique o Teorema da Dimensão para
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que nos pedem (verificar o Teorema da Dimensão) significa mostrar, com cálculos concretos para este
, que
Informações relevantes fornecidas:
- A transformação
é dada explicitamente por duas componentes lineares: a primeira é e a segunda é . - O domínio é
(logo ).
As próximas etapas vão calcular, , as respectivas dimensões e então verificar a igualdade acima.
Passo 2
O que é
e como encontrá-lo (passo-a-passo):
é o conjunto de vetores do domínio que são levados ao vetor zero em
. Ou seja,
Devemos resolver o sistema de equações obtido impondo
. Escrevendo isso temos as duas equações:
Agora resolvemos esse sistema de forma elementar.
Passo 3
Resolver o sistema para
:
Da primeira equação obtemos .
Da segunda equação obtemos .
Logo qualquer vetor em tem a forma
Da primeira equação obtemos
Da segunda equação obtemos
Logo qualquer vetor em
onde
é o parâmetro livre. Portanto o núcleo é a reta gerada por
. Consequentemente:
Passo 4
Dimensão do núcleo (nullidade): como
é gerado por um único vetor não nulo, tem dimensão
. Em notação:
Explicação rápida: a dimensão do núcleo é o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o núcleo; aqui basta um vetor não nulo.
Passo 5
Agora vamos encontrar
(imagem) e sua dimensão (posto). Uma forma prática: escrever
como combinação linear das coordenadas, isto é
Isso significa que as colunas da matriz de
(na base canônica) são os vetores
A imagem de
é o espaço gerado por essas colunas:
Passo 6
Determinar uma base da imagem e o posto (rank). Observação fácil sobre dependência linear:
Portanto
, ou seja,
é combinação linear de
e
. Os vetores
e
são claramente linearmente independentes em
(são os vetores canônicos). Logo uma base para
é
e a imagem é todo
. Assim
Passo 7
Agora aplicamos o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem / Rank-Nullity). Para uma transformação linear
com
de dimensão finita vale
No nosso caso
tem dimensão
. Substituindo os valores calculados:
A igualdade é satisfeita, portanto o Teorema da Dimensão está verificado para esta transformação.