Verifique o Teorema da Dimensão para
T(x, y, z)=(x+y, y+z) .

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z).
O que nos pedem (verificar o Teorema da Dimensão) significa mostrar, com cálculos concretos para este T, que
\dim(\mathbb{R}^3)=\dim\big(\ker T\big)+\dim\big(\operatorname{Im}T\big).
Informações relevantes fornecidas:
  • A transformação T é dada explicitamente por duas componentes lineares: a primeira é x+y e a segunda é y+z.
  • O domínio é \mathbb{R}^{3} (logo \dim(\mathbb{R}^3)=3).
    As próximas etapas vão calcular \ker T, \operatorname{Im}T, as respectivas dimensões e então verificar a igualdade acima.

Passo 2

O que é \ker T e como encontrá-lo (passo-a-passo): \ker T é o conjunto de vetores do domínio que são levados ao vetor zero em \mathbb{R}^{2}. Ou seja,
\ker T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Devemos resolver o sistema de equações obtido impondo T(x,y,z)=(0,0). Escrevendo isso temos as duas equações:
x+y=0, \qquad y+z=0.
Agora resolvemos esse sistema de forma elementar.

Passo 3

Resolver o sistema para \ker T:
Da primeira equação obtemos x=-y.
Da segunda equação obtemos z=-y.
Logo qualquer vetor em \ker T tem a forma
(x,y,z)=(-y,\;y,\;-y)=y\cdot(-1,\,1,\,-1),
onde y\in\mathbb{R} é o parâmetro livre. Portanto o núcleo é a reta gerada por (-1,1,-1). Consequentemente:
\ker T=\operatorname{span}\{(-1,\,1,\,-1)\}.

Passo 4

Dimensão do núcleo (nullidade): como \ker T é gerado por um único vetor não nulo, tem dimensão 1. Em notação:
\dim\big(\ker T\big)=1.
Explicação rápida: a dimensão do núcleo é o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o núcleo; aqui basta um vetor não nulo.

Passo 5

Agora vamos encontrar \operatorname{Im}T (imagem) e sua dimensão (posto). Uma forma prática: escrever T como combinação linear das coordenadas, isto é
T(x,y,z)=x\,(1,0)+y\,(1,1)+z\,(0,1).
Isso significa que as colunas da matriz de T (na base canônica) são os vetores
c_1=(1,0),\quad c_2=(1,1),\quad c_3=(0,1)\in\mathbb{R}^2.
A imagem de T é o espaço gerado por essas colunas:
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,0),\;(1,1),\;(0,1)\}.

Passo 6

Determinar uma base da imagem e o posto (rank). Observação fácil sobre dependência linear:
(1,1)=(1,0)+(0,1).
Portanto c_2=c_1+c_3, ou seja, c_2 é combinação linear de c_1 e c_3. Os vetores c_1=(1,0) e c_3=(0,1) são claramente linearmente independentes em \mathbb{R}^{2} (são os vetores canônicos). Logo uma base para \operatorname{Im}T é
\{(1,0),\;(0,1)\},
e a imagem é todo \mathbb{R}^2. Assim
\dim\big(\operatorname{Im}T\big)=2.

Passo 7

Agora aplicamos o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem / Rank-Nullity). Para uma transformação linear T:V\to W com V de dimensão finita vale
\dim V=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T).
No nosso caso V=\mathbb{R}^3 tem dimensão 3. Substituindo os valores calculados:
3=\dim\big(\mathbb{R}^3\big)=\dim\big(\ker T\big)+\dim\big(\operatorname{Im}T\big)=1+2.
A igualdade é satisfeita, portanto o Teorema da Dimensão está verificado para esta transformação.

Resposta

\dim(\ker T)=1
\dim(\operatorname{Im}T)=2
\dim(\mathbb{R}^3)=3=1+2

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