Prove que, se A, B e C são matrizes inversíveis de ordem n, então (A B C)^{-1}= =C^{-1} B^{-1} A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá que A, B e C são matrizes invertíveis de ordem n. Preciso provar a igualdade
( A B C )^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A,B,C são matrizes quadradas n\times n.
  • Cada uma delas é invertível, ou seja existem A^{-1},B^{-1},C^{-1}.
    O que se pede:
  • Mostrar que a inversa do produto A B C é exatamente o produto das inversas em ordem reversa: C^{-1} B^{-1} A^{-1}.

Passo 2

Lembrando a definição de inversa (aula rápida e necessária): para uma matriz quadrada M, a matriz M^{-1} é a inversa de M se e somente se se satisfazem as duas igualdades
M M^{-1} = I \qquad\text{e}\qquad M^{-1} M = I,
onde I é a matriz identidade de ordem n. Essas duas igualdades significam que M^{-1} é tanto uma inversa à direita quanto à esquerda de M.

Passo 3

Proposição importante (e simples de provar): a inversa de uma matriz, quando existe, é única. Prova curta e didática:
Suponha que X e Y sejam ambas inversas de M, isto é
M X = X M = I \qquad\text{e}\qquad M Y = Y M = I.
Então
X = X I = X (M Y) = (X M) Y = I Y = Y.
Portanto X=Y. Conclusão: se encontrarmos uma matriz que seja simultaneamente inversa à esquerda e à direita de ABC, ela é a única inversa, isto é, será (ABC)^{-1}.

Passo 4

Estratégia escolhida: mostrar que C^{-1} B^{-1} A^{-1} é inversa de ABC verificando as equalidades
( A B C ) ( C^{-1} B^{-1} A^{-1} ) = I \qquad\text{e}\qquad ( C^{-1} B^{-1} A^{-1} ) ( A B C ) = I.
Pelo passo anterior, isso basta para concluir a identidade desejada.

Passo 5

Calcular o produto ( A B C ) ( C^{-1} B^{-1} A^{-1} ) e simplificar passo a passo usando associatividade da multiplicação matricial (atenção: multiplicação matricial é associativa, portanto pode-se reagrupar os fatores, mas não é comutativa — a ordem dos fatores importa):
( A B C ) ( C^{-1} B^{-1} A^{-1} ) = A \bigl( B C \bigr) \bigl( C^{-1} B^{-1} A^{-1} \bigr).
Reagrupando para isolar C C^{-1}:
= A \bigl( B \bigl( C C^{-1} \bigr) B^{-1} A^{-1} \bigr).
Como C C^{-1} = I, isso vira
= A \bigl( B I B^{-1} A^{-1} \bigr) = A \bigl( B B^{-1} A^{-1} \bigr).
Como B B^{-1} = I, fica
= A \bigl( I A^{-1} \bigr) = A A^{-1}.
Finalmente, A A^{-1} = I. Logo obtivemos
( A B C ) ( C^{-1} B^{-1} A^{-1} ) = I.

Passo 6

Agora calcular o produto na ordem inversa para verificar também a inversa à esquerda:
( C^{-1} B^{-1} A^{-1} ) ( A B C ) = C^{-1} \bigl( B^{-1} A^{-1} A \bigr) B C,
reagrupando para isolar A^{-1} A:
= C^{-1} \bigl( B^{-1} \bigl( A^{-1} A \bigr) B \bigr).
Como A^{-1} A = I, isso é
= C^{-1} \bigl( B^{-1} I B \bigr) = C^{-1} \bigl( B^{-1} B \bigr).
Como B^{-1} B = I, obtemos
= C^{-1} I = C^{-1}.
E finalmente, C^{-1} C = I, então continuando a simplificação:
( C^{-1} B^{-1} A^{-1} ) ( A B C ) = I.

Passo 7

Concluímos que C^{-1} B^{-1} A^{-1} é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de A B C. Pelo passo sobre unicidade da inversa, isso implica que
( A B C )^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}.

Passo 8

Comentário didático e intuição rápida: o inverso de um produto é o produto das inversas em ordem inversa — faz sentido porque para “desfazer” primeiro A, depois B e depois C (na ação ABC) é preciso aplicar primeiro C^{-1}, depois B^{-1} e por fim A^{-1}. Atenção: não se pode trocar a ordem arbitrariamente, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Resposta

(A B C)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}

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