Prove que, se
e
são matrizes inversíveis de ordem
, então
.
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são matrizes invertíveis de ordem
. Preciso provar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
-
são matrizes quadradas . - Cada uma delas é invertível, ou seja existem
.
O que se pede: - Mostrar que a inversa do produto
é exatamente o produto das inversas em ordem reversa: .
Passo 2
Lembrando a definição de inversa (aula rápida e necessária): para uma matriz quadrada
, a matriz
é a inversa de
se e somente se se satisfazem as duas igualdades
onde
é a matriz identidade de ordem
. Essas duas igualdades significam que
é tanto uma inversa à direita quanto à esquerda de
.
Passo 3
Proposição importante (e simples de provar): a inversa de uma matriz, quando existe, é única. Prova curta e didática:
Suponha que e
sejam ambas inversas de
, isto é
Suponha que
Então
Portanto
. Conclusão: se encontrarmos uma matriz que seja simultaneamente inversa à esquerda e à direita de
, ela é a única inversa, isto é, será
.
Passo 4
Estratégia escolhida: mostrar que
é inversa de
verificando as equalidades
Pelo passo anterior, isso basta para concluir a identidade desejada.
Passo 5
Calcular o produto
e simplificar passo a passo usando associatividade da multiplicação matricial (atenção: multiplicação matricial é associativa, portanto pode-se reagrupar os fatores, mas não é comutativa — a ordem dos fatores importa):
Reagrupando para isolar
:
Como
, isso vira
Como
, fica
Finalmente,
. Logo obtivemos
Passo 6
Agora calcular o produto na ordem inversa para verificar também a inversa à esquerda:
reagrupando para isolar
:
Como
, isso é
Como
, obtemos
E finalmente,
, então continuando a simplificação:
Passo 7
Concluímos que
é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de
. Pelo passo sobre unicidade da inversa, isso implica que
Passo 8
Comentário didático e intuição rápida: o inverso de um produto é o produto das inversas em ordem inversa — faz sentido porque para “desfazer” primeiro
, depois
e depois
(na ação
) é preciso aplicar primeiro
, depois
e por fim
. Atenção: não se pode trocar a ordem arbitrariamente, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa.