Determine uma base do núcleo de
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
definida por
O que é pedido: determinar uma base do núcleo (núcleo = conjunto de vetores que são levados ao vetor zero) de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A regra explícita de
: as duas componentes são e . - O núcleo de
é o conjunto de todos tais que .
Passo 2
Definição e estratégia: o núcleo de
é
Para encontrar uma base do núcleo, resolvemos o sistema linear obtido igualando as componentes de
a zero. Esse é um sistema de duas equações lineares em três incógnitas; geralmente teremos uma família de soluções com um parâmetro (ou mais). Vou resolver explicitamente e escrever as soluções na forma paramétrica, depois identificar um conjunto de vetores que gera esse espaço e verificar que é linearmente independente (base).
Passo 3
Escrevendo as equações
Da primeira equação tem-se
. Combinando, obtemos
Introduzo um parâmetro
e escrevo
. Assim qualquer vetor do núcleo tem a forma
Passo 4
Interpretação: o conjunto de todas as soluções é
O vetor
é não nulo, logo o conjunto formado por ele é linearmente independente e gera
. Portanto
é uma base de
.
Passo 5
Checagem alternativa (rápida): a matriz de
na base padrão é
As duas linhas são linearmente independentes (a segunda não é múltiplo da primeira), então
. Pelo teorema do posto (rank–nullity),
o que confirma que o núcleo é de dimensão
e a base encontrada com um vetor está correta.]