Determine uma base do núcleo de
T(x, y, z)=(x-y, y-z) .

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x-y,\;y-z).
O que é pedido: determinar uma base do núcleo (núcleo = conjunto de vetores que são levados ao vetor zero) de T.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra explícita de T: as duas componentes são x-y e y-z.
  • O núcleo de T é o conjunto de todos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tais que T(x,y,z)=(0,0).

Passo 2

Definição e estratégia: o núcleo de T é
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Para encontrar uma base do núcleo, resolvemos o sistema linear obtido igualando as componentes de T(x,y,z) a zero. Esse é um sistema de duas equações lineares em três incógnitas; geralmente teremos uma família de soluções com um parâmetro (ou mais). Vou resolver explicitamente e escrever as soluções na forma paramétrica, depois identificar um conjunto de vetores que gera esse espaço e verificar que é linearmente independente (base).

Passo 3

Escrevendo as equações T(x,y,z)=(0,0)\): \[\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] y-z=0. \end{cases}
Da primeira equação tem-se x=y\]. Da segunda tem-se \(y=z. Combinando, obtemos
x=y=z.
Introduzo um parâmetro t\in\mathbb{R} e escrevo x=y=z=t. Assim qualquer vetor do núcleo tem a forma
(x,y,z)=(t,t,t)=t\,(1,1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 4

Interpretação: o conjunto de todas as soluções é
\ker(T)=\{t(1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
O vetor (1,1,1) é não nulo, logo o conjunto formado por ele é linearmente independente e gera \ker(T). Portanto \{(1,1,1)\} é uma base de \ker(T).

Passo 5

Checagem alternativa (rápida): a matriz de T na base padrão é
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\end{pmatrix}.
As duas linhas são linearmente independentes (a segunda não é múltiplo da primeira), então \operatorname{rank}(A)=2. Pelo teorema do posto (rank–nullity),
\dim\ker(T)=3-\operatorname{rank}(A)=3-2=1,
o que confirma que o núcleo é de dimensão 1 e a base encontrada com um vetor está correta.]

Resposta

\{(1,1,1)\}

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