Determine uma base para a imagem da transformação linear abaixo e indique se ela é sobrejetiva e/ou injetiva. B: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, B(x, y, z, t)=(x+y, z+t, x+z, y+t).
Passo 1
O enunciado pede uma base para a imagem da transformação linear
e quer saber se B é injetiva e/ou sobrejetiva.
Conteúdo: representação matricial de B, posto (dimensionamento da imagem) e Teorema do Núcleo e Imagem para decidir injeção e sobrejeção.
Passo 2
Vamos montar a matriz de B em relação às bases canônicas. Para isso, calculamos as imagens dos vetores \mathbf{e}_1=(1,0,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1,0), \mathbf{e}_4=(0,0,0,1):
Agora determinamos o posto de M, que é a dimensão da imagem de B. Tomemos as três primeiras colunas \mathbf{v}_1=(1,0,1,0), \mathbf{v}_2=(1,0,0,1), \mathbf{v}_3=(0,1,1,0).
Se a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\mathbf{0} então
(a+b,\;c,\;a+c,\;b)=(0,0,0,0)
implica c=0, depois a=0 e b=0. Logo essas três colunas são linearmente independentes, e como a quarta coluna fica numa combinação linear delas (de fato \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_4=\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3), o posto é
\mathrm{rank}(M)=3.
Portanto
\dim\bigl(\mathrm{Im}\,B\bigr)=3
e uma base explícita para \mathrm{Im}\,B é
\bigl\{(1,0,1,0),\;(1,0,0,1),\;(0,1,1,0)\bigr\}.
Passo 4
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, \dim\ker B + \dim\mathrm{Im}\,B = 4. Como \dim\mathrm{Im}\,B=3, segue \dim\ker B=1.
Não há injeção porque \ker B\neq\{\mathbf{0}\}.
Não há sobrejeção porque \dim\mathrm{Im}\,B=3<4=\dim\mathbb{R}^4.
Resposta
Uma base para \mathrm{Im}\,B é
\{(1,0,1,0),\;(1,0,0,1),\;(0,1,1,0)\}.
A transformação B não é injetiva (kern não trivial) e não é sobrejetiva (imagem de dimensão 3 em \mathbb{R}^4).