Verifique se o espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+,. ) (onde +e . são as operações usuais de \mathbb{R}^{3} ) é a soma direta dos seguintes subespaços vetoriais
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=y=0\right\} \text { e } W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=0\right\}
do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+,. ).

Passo 1

O enunciado pergunta se \mathbb{R}^3 é soma direta de
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x=y=0\} \quad\text{e}\quad W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y+z=0\}.
Conteúdo: soma direta de subespaços, que exige verificar duas coisas:
  1. U\cap W = \{(0,0,0)\}.
  2. U+W = \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos achar U\cap W. Se (x,y,z)\in U\cap W então
x=0,\quad y=0, \quad\text{e}\quad x+y+z=0.
Substituindo x=0 e y=0 na última equação dá z=0. Logo
U\cap W = \{(0,0,0)\}.

Passo 3

Para ver que U+W=\mathbb{R}^3, pegamos um vetor genérico (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 e escrevemos
w = (a,b,-a-b)\in W \quad\text{pois}\quad a + b + (-a-b)=0,
u = (0,0,c + a + b)\in U \quad\text{pois}\quad x=y=0.
Então
w + u = (a,b,-a-b) + (0,0,c+a+b) = (a,b,c).
Isso mostra que qualquer (a,b,c) é soma de um elemento de W com um de U, ou seja, U+W=\mathbb{R}^3.

Passo 4

Como U\cap W=\{0\} e U+W=\mathbb{R}^3, concluímos que
\mathbb{R}^3 = U \oplus W.

Resposta

Sim. \mathbb{R}^3 = U \oplus W.

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