Encontre uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
\operatorname{Im}(T)=[(1,2,3),(4,0,5)]
e cujo núcleo seja gerado pelo vetor (0,0,1).
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que \operatorname{Im}(T)=\text{span}\{(1,2,3),(4,0,5)\} e \ker(T)=\text{span}\{(0,0,1)\}.
Para resolver, vamos escolher uma base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3 e definir T nos vetores dessa base de modo que a imagem e o núcleo fiquem conforme o desejado.
Passo 2
Como \ker(T) deve ser gerado por (0,0,1), obrigamos
T(0,0,1)=0.
Para garantir que \operatorname{Im}(T) seja gerada por (1,2,3) e (4,0,5), basta definir
T(1,0,0)=(1,2,3),\qquad T(0,1,0)=(4,0,5).
Passo 3
Uma vez fixado o valor de T em e_1,e_2,e_3, para um vetor genérico (x,y,z) temos
da segunda equação vem x=0, e então y=0, ficando z livre. Logo \ker(T)=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}=\text{span}\{(0,0,1)\}.
A imagem é claramente span de (1,2,3) e (4,0,5) por construção.