Encontre uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
\operatorname{Im}(T)=[(1,2,3),(4,0,5)]
e cujo núcleo seja gerado pelo vetor (0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que \operatorname{Im}(T)=\text{span}\{(1,2,3),(4,0,5)\} e \ker(T)=\text{span}\{(0,0,1)\}.
Para resolver, vamos escolher uma base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3 e definir T nos vetores dessa base de modo que a imagem e o núcleo fiquem conforme o desejado.

Passo 2

Como \ker(T) deve ser gerado por (0,0,1), obrigamos
T(0,0,1)=0.
Para garantir que \operatorname{Im}(T) seja gerada por (1,2,3) e (4,0,5), basta definir
T(1,0,0)=(1,2,3),\qquad T(0,1,0)=(4,0,5).

Passo 3

Uma vez fixado o valor de T em e_1,e_2,e_3, para um vetor genérico (x,y,z) temos
T(x,y,z) =x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1) =(x,y,z)\cdot \begin{pmatrix} 1&4&0\\\\ 2&0&0\\\\ 3&5&0 \end{pmatrix}.
Explicitando,
T(x,y,z)=(\,x+4y,\;2x,\;3x+5y\,).
Agora, para verificar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z)=(0,0,0) \;\Longrightarrow\; x+4y=0,\;2x=0,\;3x+5y=0
da segunda equação vem x=0, e então y=0, ficando z livre. Logo \ker(T)=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}=\text{span}\{(0,0,1)\}.
A imagem é claramente span de (1,2,3) e (4,0,5) por construção.

Resposta

Uma transformação que funciona é
T(x,y,z)=(\,x+4y,\;2x,\;3x+5y\,),
cuja matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0\\\\ 2 & 0 & 0\\\\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix},
de modo que \operatorname{Im}(T)=\text{span}\{(1,2,3),(4,0,5)\} e \ker(T)=\text{span}\{(0,0,1)\}.

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