Mostre que \left\{1, x, x^{2}\right\} é uma base de P_{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: mostrar que \{1, x, x^{2}\} é uma base de P_{2}.
  • Informação implícita (presunção usual): P_{2} é o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais e grau no máximo 2. Ou seja, elementos de P_{2} têm a forma \,a + b x + c x^{2}\, com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • Objetivo concreto: provar que o conjunto \{1, x, x^{2}\} satisfaz as duas propriedades necessárias para ser uma base: (i) é linearmente independente; (ii) gera (ou seja, faz o span de) todo P_{2}.

Passo 2

Definições essenciais (explicadas com calma):
  • Uma família de vetores forma uma base de um espaço vetorial quando (A) é linearmente independente e (B) gera todo o espaço.
  • Linearmente independente significa: se uma combinação linear \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\cdots=0 (o vetor nulo) tem \alpha=\beta=\cdots=0 como única solução, então os vetores são linearmente independentes. Aqui o “vetor nulo” em P_{2} é o polinômio zero, isto é, o polinômio que é zero para todo x.
  • Gerar (ou span) significa: qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto. No nosso caso, qualquer polinômio p(x)\in P_{2} deve poder ser escrito como combinação de 1, x, x^{2}.

Passo 3

Provar que \{1,x,x^{2}\} é linearmente independente — ideia e estratégia:
  • Estratégia direta: suponha que exista uma combinação
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot x + \gamma\cdot x^{2} = 0
como polinômio (isto é, válida para todo x). Mostrar que \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Explicação por que isso basta: o polinômio do lado esquerdo é o polinômio \gamma x^{2}+\beta x+\alpha. Se esse polinômio é identicamente zero (igual a zero para todo x), então todos os seus coeficientes devem ser zero — isso é uma propriedade básica dos polinômios (se um polinômio de grau n é zero para todos x, então o coeficiente do termo de maior grau seria zero; repetindo o argumento para os graus menores, conclui-se que todos os coeficientes são zero).

Passo 4

Detalhar a prova de linear independência passo a passo:
  • Comece assumindo
\alpha + \beta x + \gamma x^{2} = 0\quad\text{para todo }x.
  • Esse é o polinômio p(x)=\gamma x^{2}+\beta x+\alpha. Se p é o polinômio zero (igual a zero para todo x), então o coeficiente de x^{2} é zero, logo
\gamma=0.
  • Com \gamma=0, a identidade fica \alpha + \beta x = 0 para todo x. Esse é um polinômio de grau no máximo 1 sendo identicamente zero, então o coeficiente de x é zero:
\beta=0.
  • Finalmente, com \gamma=0 e \beta=0, temos \alpha=0.
  • Conclusão: a única solução para a combinação linear que dá o polinômio zero é \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto \{1,x,x^{2}\} é linearmente independente.
(Obs.: outra maneira equivalente, se preferir, é avaliar a igualdade em três valores distintos de x e resolver o sistema linear resultante; ambos os raciocínios têm o mesmo fundamento.)

Passo 5

Provar que \{1,x,x^{2}\} gera P_{2} (ou seja, gera todo o espaço):
  • Tome um polinômio qualquer p(x)\in P_{2}. Por definição de P_{2}, pode ser escrito como
p(x)=a + b x + c x^{2}
para alguns escalares a,b,c\in\mathbb{R}.
  • Mas isso é exatamente a combinação linear
p(x)=a\cdot 1 + b\cdot x + c\cdot x^{2}.
  • Portanto qualquer elemento de P_{2} é combinação linear de 1,x,x^{2}. Logo o conjunto gera P_{2}.

Passo 6

Juntando tudo e observação final (motivar como usar isso numa prova):
  • Já mostramos que \{1,x,x^{2}\} é linearmente independente (Passos 3–4) e que gera P_{2} (Passo 5).
  • Portanto, por definição, \{1,x,x^{2}\} é uma base de P_{2}.
  • Dica prática para prova na hora da prova: normalmente basta mostrar uma das duas coisas e usar a contagem de dimensão quando se conhece \dim(P_{2})=3. Por exemplo, como \{1,x,x^{2}\} tem 3 vetores e P_{2} tem dimensão 3, basta provar que são linearmente independentes (ou, alternativamente, provar que geram) para concluir que é base. No nossa resolução fizemos ambas as provas diretamente, que é a forma mais elemental e robusta.

Resposta

Sim: \{1,x,x^{2}\} é uma base de P_{2}.

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