Determine uma base do \mathbb{R}^{3} que possua os vetores:
(1,2,3) e (0,2,1)

Passo 1

O enunciado pede para “completar” os vetores (1,2,3) e (0,2,1) até uma base de \mathbb{R}^{3}. O conteúdo envolvido é o de espaços vetoriais, mais precisamente base e independência linear, e vamos usar o fato de que, em \mathbb{R}^{3}, dois vetores independentes podem ser estendidos a uma base com um terceiro vetor que não esteja no mesmo plano.

Passo 2

Mostramos que
v_{1} = (1,2,3), \quad v_{2} = (0,2,1)
são independentes lineares. Suponha que existam escalares a,b\) tais que \[a\,v_{1} + b\,v_{2} = (0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a\cdot 1 + b\cdot 0 = 0,\\\ a\cdot 2 + b\cdot 2 = 0,\\\ a\cdot 3 + b\cdot 1 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=0\]. Substituindo na segunda, \(2\cdot0 + 2b = 0 implica b=0. Logo, a=b=0 é a única solução, e v_{1},v_{2} são independentes.

Passo 3

Para completar a base, escolhemos um vetor v_{3} que não esteja no plano gerado por v_{1} e v_{2}. Uma forma sistemática é usar o produto vetorial:
v_{3} = v_{1} \times v_{2}.
Calculando componente a componente:
v_{3} = \bigl(2\cdot1 - 3\cdot2,\;3\cdot0 - 1\cdot1,\;1\cdot2 - 2\cdot0\bigr) = (-4,\,-1,\,2).

Passo 4

O vetor v_{3}=(-4,-1,2) é ortogonal a v_{1} e a v_{2}, portanto não está no mesmo plano deles. Assim, \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é um conjunto de três vetores independentes em \mathbb{R}^{3} e, por essa razão, forma uma base.

Resposta

Uma base de \mathbb{R}^{3} que contém (1,2,3) e (0,2,1) é
\{\, (1,2,3),\;(0,2,1),\;(-4,-1,2)\}.

Exercícios relacionados