Determine uma base de \mathbb{R}^{4} que possua os vetores (1,2,5,1) e (2,4,7,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base de \mathbb{R}^4 que contenha os vetores
v_1 = (1,2,5,1), \quad v_2 = (2,4,7,1).
O conteúdo usado será a extensão de um conjunto linearmente independente a uma base de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Primeiro verificamos que \{v_1,v_2\}\) é linearmente independente. Se existissem \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0,0,0),
então do primeiro e segundo componentes teríamos
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\\\ 2\alpha + 4\beta = 0, \end{cases}
que é equivalente a \alpha + 2\beta=0\]. Do quarto componente vem \[\alpha + \beta = 0.\] Das duas equações \(\alpha+2\beta=0 e \alpha+\beta=0 segue \beta=0 e \alpha=0. Logo só a combinação trivial anula, e v_1,v_2 são LI.

Passo 3

Para completar a base precisamos de dois vetores a mais que não estejam em \operatorname{span}\{v_1,v_2\}\). Vamos escolher os vetores-canônicos \[u_3=(0,0,1,0), \quad u_4=(0,0,0,1).
Mostramos, por exemplo para u_3, que não há escalares a,b tais que
a\,v_1 + b\,v_2 = u_3.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} a + 2b = 0,\\\\ 2a + 4b = 0,\\\\ 5a + 7b = 1,\\\ a + b = 0. \end{cases}
Das duas primeiras obtemos a=-2b\]. Da última obtemos \(a=-b. Juntas dão b=0, a=0, que não satisfaz 5a+7b=1. Portanto u_3\notin\operatorname{span}\{v_1,v_2\}. De modo análogo, u_4\notin\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 4

Agora \{v_1,v_2,u_3,u_4\} contém 4 vetores em \mathbb{R}^4 e nenhum deles está no span dos outros anteriores, logo é um conjunto linearmente independente de tamanho 4. Portanto é uma base de \mathbb{R}^4 contendo v_1 e v_2.

Resposta

Uma base possível é
\bigl\{(1,2,5,1),\;(2,4,7,1),\;(0,0,1,0),\;(0,0,0,1)\bigr\}.

Exercícios relacionados