que é equivalente a \alpha + 2\beta=0\]. Do quarto componente vem
\[\alpha + \beta = 0.\]
Das duas equações \(\alpha+2\beta=0 e \alpha+\beta=0 segue \beta=0 e \alpha=0. Logo só a combinação trivial anula, e v_1,v_2 são LI.
Passo 3
Para completar a base precisamos de dois vetores a mais que não estejam em \operatorname{span}\{v_1,v_2\}\). Vamos escolher os vetores-canônicos
\[u_3=(0,0,1,0), \quad u_4=(0,0,0,1).
Mostramos, por exemplo para u_3, que não há escalares a,b tais que
a\,v_1 + b\,v_2 = u_3.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} a + 2b = 0,\\\\ 2a + 4b = 0,\\\\ 5a + 7b = 1,\\\ a + b = 0. \end{cases}
Das duas primeiras obtemos a=-2b\]. Da última obtemos \(a=-b. Juntas dão b=0, a=0, que não satisfaz 5a+7b=1. Portanto u_3\notin\operatorname{span}\{v_1,v_2\}. De modo análogo, u_4\notin\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Passo 4
Agora \{v_1,v_2,u_3,u_4\} contém 4 vetores em \mathbb{R}^4 e nenhum deles está no span dos outros anteriores, logo é um conjunto linearmente independente de tamanho 4. Portanto é uma base de \mathbb{R}^4 contendo v_1 e v_2.