Verifique se \beta=\left\{1,1-t, 1-t-t^{2}, 1-t-t^{2}-t^{3}\right\} é uma base de P_{3}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se \beta=\{1,\;1-t,\;1-t-t^{2},\;1-t-t^{2}-t^{3}\}
é uma base de P_{3}(\mathbb{R}).
Sabemos que \dim P_{3}(\mathbb{R})=4, então basta mostrar que esses quatro polinômios são linearmente independentes (o que implica que formam base).
Passo 2
Vamos escrever cada polinômio como vetor de coordenadas na base canônica \{1,t,t^{2},t^{3}\}:
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Assim,
\det A = 1 \cdot (-1)\cdot(-1)\cdot(-1) = -1 \neq 0.
Como \det A\neq0, as colunas de A (isto é, os polinômios de \beta) são linearmente independentes.
Passo 5
Como \beta tem 4 elementos e eles são linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, concluímos que \beta gera todo P_{3}(\mathbb{R}) e, portanto, é uma base.