Verifique se \beta=\left\{1,1-t, 1-t-t^{2}, 1-t-t^{2}-t^{3}\right\} é uma base de P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \beta=\{1,\;1-t,\;1-t-t^{2},\;1-t-t^{2}-t^{3}\}
é uma base de P_{3}(\mathbb{R}).
Sabemos que \dim P_{3}(\mathbb{R})=4, então basta mostrar que esses quatro polinômios são linearmente independentes (o que implica que formam base).

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio como vetor de coordenadas na base canônica \{1,t,t^{2},t^{3}\}:
1\mapsto(1,0,0,0),\quad 1-t\mapsto(1,-1,0,0),\quad 1-t-t^{2}\mapsto(1,-1,-1,0),
1-t-t^{2}-t^{3}\mapsto(1,-1,-1,-1).

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores de coordenadas:
A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Repare que A é triangular superior.

Passo 4

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Assim,
\det A = 1 \cdot (-1)\cdot(-1)\cdot(-1) = -1 \neq 0.
Como \det A\neq0, as colunas de A (isto é, os polinômios de \beta) são linearmente independentes.

Passo 5

Como \beta tem 4 elementos e eles são linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, concluímos que \beta gera todo P_{3}(\mathbb{R}) e, portanto, é uma base.

Resposta

Sim, \beta é uma base de P_{3}(\mathbb{R}).

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