Verifique se
é linear.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O que se pede: verificar se
é linear (ou seja, se é uma transformação linear de
em
).
Informações importantes dadas:
- Domínio e contradomínio:
. - Regra de correspondência: a primeira componente é
e a segunda é .
Passo 2
Definição e critérios que vou usar (explicando cada coisa passo a passo).
Uma aplicação entre espaços vetoriais sobre
é linear se, para todos
e todo escalar
, valem simultaneamente:
Uma aplicação
Aqui:
-
é a soma vetorial em ; -
é a multiplicação do vetor pelo escalar .
Para provar queé linear precisa mostrar as duas propriedades para todos os vetores; para mostrar que não é linear basta encontrar um contraexemplo que viole uma das duas propriedades.
Passo 3
Verificação da propriedade de homogeneidade (
) de forma geral.
Se e
, então
Se
Por outro lado,
Compare as primeiras componentes:
versus
. Para que sejam iguais para todo
e todo
seria necessário
ou seja
Isso só ocorre para todos
se
sempre (falso) ou
para todo
(falso). Logo, em geral a igualdade não vale.
Passo 4
Contraexemplo explícito para a homogeneidade (isso já basta para concluir que
não é linear).
Escolha e
. Então
Escolha
Mas
Como
, a igualdade
falha para esses valores. Portanto a propriedade de homogeneidade não é satisfeita.
Passo 5
Verificação da aditividade (
) para entender outra falha que ocorre.
Se e
, então
Se
Expandindo,
logo
Enquanto isso
A diferença entre as duas primeiras componentes é
. Se
então
.
Exemplo numérico simples: tome
. Então
que são diferentes. Assim, a aditividade também falha em geral.
Passo 6
Resumo didático do que os cálculos mostraram (sem repetir apenas a resposta final).
- A verificação geral mostrou que a condição de homogeneidade falha porque a dependência quadrática em
introduz um em vez de quando se escala o vetor; um contraexemplo concreto foi e . - A aditividade falha porque ao somar vetores aparece o termo misto
na primeira componente; um exemplo concreto foi .
Essas falhas impedem que
satisfaça as duas propriedades necessárias para ser linear.