Verifique se T(x, y)=\left(x^{2}, y\right) é linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=\bigl(x^{2},\,y\bigr).
O que se pede: verificar se T é linear (ou seja, se é uma transformação linear de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2).
Informações importantes dadas:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}^2.
  • Regra de correspondência: a primeira componente é x^{2} e a segunda é y.

Passo 2

Definição e critérios que vou usar (explicando cada coisa passo a passo).
Uma aplicação T:V\to W entre espaços vetoriais sobre \mathbb{R} é linear se, para todos u,v\in V e todo escalar c\in\mathbb{R}, valem simultaneamente:
\text{(1) }T(u+v)=T(u)+T(v) \qquad\text{e}\qquad \text{(2) }T(cu)=c\,T(u).
Aqui:
  • u+v é a soma vetorial em V;
  • c\,u é a multiplicação do vetor u pelo escalar c.
    Para provar que T é linear precisa mostrar as duas propriedades para todos os vetores; para mostrar que T não é linear basta encontrar um contraexemplo que viole uma das duas propriedades.

Passo 3

Verificação da propriedade de homogeneidade ( T(cu)=cT(u)) de forma geral.
Se u=(x,y) e c\in\mathbb{R}, então
T(cu)=T(cx,cy)=\bigl((cx)^{2},\,cy\bigr)=(c^{2}x^{2},\,c y).
Por outro lado,
c\,T(u)=c\,(x^{2},y)=(c x^{2},\,c y).
Compare as primeiras componentes: c^{2}x^{2} versus c x^{2}. Para que sejam iguais para todo x e todo c seria necessário
c^{2}x^{2}=c x^{2}\quad\text{para todos }x,c,
ou seja
(c^{2}-c)x^{2}=0\quad\text{para todos }x,c.
Isso só ocorre para todos x,c se x=0 sempre (falso) ou c^{2}-c=0 para todo c (falso). Logo, em geral a igualdade não vale.

Passo 4

Contraexemplo explícito para a homogeneidade (isso já basta para concluir que T não é linear).
Escolha c=-1 e u=(1,0). Então
T(cu)=T(-1,0)=\bigl((-1)^{2},\,0\bigr)=(1,0).
Mas
c\,T(u)=-1\cdot T(1,0)=-1\cdot(1,0)=(-1,0).
Como (1,0)\neq(-1,0), a igualdade T(cu)=cT(u) falha para esses valores. Portanto a propriedade de homogeneidade não é satisfeita.

Passo 5

Verificação da aditividade ( T(u+v)=T(u)+T(v)) para entender outra falha que ocorre.
Se u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}), então
T(u+v)=T(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})=\bigl((x_{1}+x_{2})^{2},\,y_{1}+y_{2}\bigr).
Expandindo,
(x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2},
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T(u+v)=\bigl(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2},\,y_{1}+y_{2}\bigr).
Enquanto isso
T(u)+T(v)=(x_{1}^{2},y_{1})+(x_{2}^{2},y_{2})=\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2},\,y_{1}+y_{2}\bigr).
A diferença entre as duas primeiras componentes é 2x_{1}x_{2}. Se x_{1}x_{2}\neq 0 então T(u+v)\neq T(u)+T(v).
Exemplo numérico simples: tome u=v=(1,0). Então
T(u+v)=T(2,0)=(4,0), \qquad T(u)+T(v)=(1,0)+(1,0)=(2,0),
que são diferentes. Assim, a aditividade também falha em geral.

Passo 6

Resumo didático do que os cálculos mostraram (sem repetir apenas a resposta final).
  • A verificação geral mostrou que a condição de homogeneidade falha porque a dependência quadrática em x introduz um c^{2} em vez de c quando se escala o vetor; um contraexemplo concreto foi c=-1 e u=(1,0).
  • A aditividade falha porque ao somar vetores aparece o termo misto 2x_{1}x_{2} na primeira componente; um exemplo concreto foi u=v=(1,0).
Essas falhas impedem que T satisfaça as duas propriedades necessárias para ser linear.

Resposta

T não é linear.

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