1. Determine uma base ortonormal de:
\mathbb{R}^{4}
obtida via Gram-Schmidt.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine uma base ortonormal de \mathbb{R}^{4} obtida via Gram–Schmidt.”
Informações dadas: nenhuma outra — não foi fornecida uma base inicial ou conjunto de vetores para ortonormalizar. Isso é importante porque o procedimento de Gram–Schmidt transforma um conjunto de vetores linearmente independentes em uma base ortonormal; sem um conjunto inicial não há uma única resposta. Portanto, vou escolher um conjunto simples de quatro vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{4} (que gera todo \mathbb{R}^{4}), aplicar o processo de Gram–Schmidt passo a passo e obter uma base ortonormal explícita. Lembre-se: existem muitas bases ortonormais possíveis; a que vou apresentar é uma escolha concreta e didática.

Passo 2

Breve explicação do método (Gram–Schmidt) e das fórmulas que vou usar, explicadas devagar:
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^{4}: para vetores x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}),
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}.
  • Norma associada: \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}. Explico: soma dos quadrados das componentes, depois raiz quadrada.
  • Projeção de v sobre um vetor u (não-nulo): \displaystyle \operatorname{proj}_{u}v=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u. Isso devolve a parte de v que “está na direção” de u.
  • Gram–Schmidt (para transformar \{v_{1},\dots,v_{4}\} em vetores ortogonais \{u_{1},\dots,u_{4}\}):
\begin{aligned} u_{1}&=v_{1},\\[4pt] u_{2}&=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}v_{2},\\[4pt] u_{3}&=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{2}}v_{3},\\[4pt] u_{4}&=v_{4}-\operatorname{proj}_{u_{1}}v_{4}-\operatorname{proj}_{u_{2}}v_{4}-\operatorname{proj}_{u_{3}}v_{4}. \end{aligned}
Depois normaliza-se cada u_{k} para obter e_{k}=\dfrac{u_{k}}{\|u_{k}\|}. Vou aplicar exatamente essas fórmulas, computando produtos internos e normas explicitamente.]

Passo 3

Escolhi o seguinte conjunto de vetores em \mathbb{R}^{4} (escolha conveniente e linearmente independente):
v_{1}=(1,1,0,0),\qquad v_{2}=(1,0,1,0),\qquad v_{3}=(1,0,0,1),\qquad v_{4}=(0,1,1,1).
Agora aplico Gram–Schmidt a esses v_{i}.

Passo 4

Calculando u_{1} e e_{1}:
u_{1}=v_{1}=(1,1,0,0).
Norma:
\|u_{1}\|=\sqrt{\langle u_{1},u_{1}\rangle}=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0+0}=\sqrt{2}.
Normalizando:
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0,0\right).

Passo 5

Calculando u_{2} e e_{2}:
Primeiro o coeficiente de projeção de v_{2} sobre u_{1}:
\langle v_{2},u_{1}\rangle=(1,0,1,0)\cdot(1,1,0,0)=1, \qquad \langle u_{1},u_{1}\rangle=2.
Logo
\operatorname{proj}_{u_{1}}v_{2}=\frac{1}{2}u_{1}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0,0\right).
Então
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}v_{2}=\left(1-\tfrac{1}{2},\,0-\tfrac{1}{2},\,1-0,\,0-0\right)=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1,0\right).
Norma de u_{2}:
\|u_{2}\|^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+1^{2}+0^{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{3}{2},
portanto \|u_{2}\|=\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.
Normalizando:
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\left(\frac{1/2}{\sqrt{6}/2},\frac{-1/2}{\sqrt{6}/2},\frac{1}{\sqrt{6}/2},0\right) =\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right).

Passo 6

Calculando u_{3} e e_{3}:
Primeiro projeção de v_{3} sobre u_{1}:
\langle v_{3},u_{1}\rangle=(1,0,0,1)\cdot(1,1,0,0)=1, \quad \operatorname{proj}_{u_{1}}v_{3}=\frac{1}{2}u_{1}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0,0\right).
Agora projeção de v_{3} sobre u_{2}:
\langle v_{3},u_{2}\rangle=(1,0,0,1)\cdot\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1,0\right)=\tfrac{1}{2}, \qquad \langle u_{2},u_{2}\rangle=\tfrac{3}{2}.
Coeficiente =\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{2}}=\tfrac{1}{3}, então
\operatorname{proj}_{u_{2}}v_{3}=\tfrac{1}{3}u_{2}=\left(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3},0\right).
Subtraindo:
u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{2}}v_{3} =\left(1-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6},\,0-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6},\,0-0-\tfrac{1}{3},\,1-0-0\right).
Simplificando:
u_{3}=\left(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},1\right).
Norma:
\|u_{3}\|^{2}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}+1^{2}=\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{9}+1=\tfrac{4}{3},
logo \|u_{3}\|=\sqrt{\tfrac{4}{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
Normalizando:
e_{3}=\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|}=\left(\frac{1/3}{2/\sqrt{3}},\frac{-1/3}{2/\sqrt{3}},\frac{-1/3}{2/\sqrt{3}},\frac{1}{2/\sqrt{3}}\right) =\left(\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Observação: \frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2\sqrt{3}}, então também se pode escrever
e_{3}=\frac{1}{2\sqrt{3}}(1,-1,-1,3).

Passo 7

Calculando u_{4} e e_{4}:
Projeções sequenciais de v_{4}=(0,1,1,1).
Sobre u_{1}:
\langle v_{4},u_{1}\rangle=(0,1,1,1)\cdot(1,1,0,0)=1, \quad \operatorname{proj}_{u_{1}}v_{4}=\tfrac{1}{2}u_{1}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0,0\right).
Sobre u_{2}:
\langle v_{4},u_{2}\rangle=(0,1,1,1)\cdot\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1,0\right)=-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}, \quad \operatorname{proj}_{u_{2}}v_{4}=\tfrac{1}{3}u_{2}=\left(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3},0\right).
Sobre u_{3}:
\langle v_{4},u_{3}\rangle=(0,1,1,1)\cdot\left(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},1\right) =-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{1}{3},
\langle u_{3},u_{3}\rangle=\tfrac{4}{3}, \quad\text{portanto coeficiente}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{3}}=\tfrac{1}{4},
\operatorname{proj}_{u_{3}}v_{4}=\tfrac{1}{4}u_{3}=\left(\tfrac{1}{12},-\tfrac{1}{12},-\tfrac{1}{12},\tfrac{1}{4}\right).
Agora subtrai-se tudo:
\begin{aligned} u_{4}&=v_{4}-\operatorname{proj}_{u_{1}}v_{4}-\operatorname{proj}_{u_{2}}v_{4}-\operatorname{proj}_{u_{3}}v_{4}\\[4pt] &=\left(0-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{12},\;1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{12},\;1-0-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{12},\;1-0-0-\tfrac{1}{4}\right). \end{aligned}
Computando e simplificando cada componente dá
u_{4}=\left(-\tfrac{3}{4},\tfrac{3}{4},\tfrac{3}{4},\tfrac{3}{4}\right)=\tfrac{3}{4}(-1,1,1,1).
Norma:
\|u_{4}\|^{2}=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}\cdot(1+1+1+1)=\tfrac{9}{16}\cdot 4=\tfrac{9}{4},
logo \|u_{4}\|=\tfrac{3}{2}.
Normalizando:
e_{4}=\frac{u_{4}}{\|u_{4}\|}=\frac{\tfrac{3}{4}(-1,1,1,1)}{3/2}= \tfrac{1}{2}(-1,1,1,1)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).]

Passo 8

Verificação rápida (sem cálculo exaustivo): cada e_{k} tem norma 1 por construção (normalizamos), e os coeficientes das projeções foram escolhidos para anular componentes nas direções anteriores, então os vetores e_{1},e_{2},e_{3},e_{4} são mutuamente ortogonais; assim formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^{4}.

Resposta

\displaystyle e_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0,0\right)
\displaystyle e_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right)
\displaystyle e_{3}=\left(\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\displaystyle e_{4}=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)

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