- Determine uma base ortonormal de:
obtida via Gram-Schmidt.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine uma base ortonormal de
obtida via Gram–Schmidt.”
Informações dadas: nenhuma outra — não foi fornecida uma base inicial ou conjunto de vetores para ortonormalizar. Isso é importante porque o procedimento de Gram–Schmidt transforma um conjunto de vetores linearmente independentes em uma base ortonormal; sem um conjunto inicial não há uma única resposta. Portanto, vou escolher um conjunto simples de quatro vetores linearmente independentes em (que gera todo
), aplicar o processo de Gram–Schmidt passo a passo e obter uma base ortonormal explícita. Lembre-se: existem muitas bases ortonormais possíveis; a que vou apresentar é uma escolha concreta e didática.
Informações dadas: nenhuma outra — não foi fornecida uma base inicial ou conjunto de vetores para ortonormalizar. Isso é importante porque o procedimento de Gram–Schmidt transforma um conjunto de vetores linearmente independentes em uma base ortonormal; sem um conjunto inicial não há uma única resposta. Portanto, vou escolher um conjunto simples de quatro vetores linearmente independentes em
Passo 2
Breve explicação do método (Gram–Schmidt) e das fórmulas que vou usar, explicadas devagar:
- Produto interno padrão em
: para vetores e ,
- Norma associada:
. Explico: soma dos quadrados das componentes, depois raiz quadrada. - Projeção de
sobre um vetor (não-nulo): . Isso devolve a parte de que “está na direção” de . - Gram–Schmidt (para transformar
em vetores ortogonais ):
Depois normaliza-se cada
para obter
. Vou aplicar exatamente essas fórmulas, computando produtos internos e normas explicitamente.]
Passo 3
Escolhi o seguinte conjunto de vetores em
(escolha conveniente e linearmente independente):
Agora aplico Gram–Schmidt a esses
.
Passo 4
Calculando
e
:
Norma:
Normalizando:
Passo 5
Calculando
e
:
Primeiro o coeficiente de projeção de sobre
:
Primeiro o coeficiente de projeção de
Logo
Então
Norma de
:
portanto
.
Normalizando:
Normalizando:
Passo 6
Calculando
e
:
Primeiro projeção de sobre
:
Primeiro projeção de
Agora projeção de
sobre
:
Coeficiente
, então
Subtraindo:
Simplificando:
Norma:
logo
.
Normalizando:
Normalizando:
Observação:
, então também se pode escrever
Passo 7
Calculando
e
:
Projeções sequenciais de .
Projeções sequenciais de
Sobre
:
Sobre
:
Sobre
:
Agora subtrai-se tudo:
Computando e simplificando cada componente dá
Norma:
logo
.
Normalizando:
Normalizando:
Passo 8
Verificação rápida (sem cálculo exaustivo): cada
tem norma
por construção (normalizamos), e os coeficientes das projeções foram escolhidos para anular componentes nas direções anteriores, então os vetores
são mutuamente ortogonais; assim formam uma base ortonormal de
.