- Seja
Determine os valores de
para os quais a matriz é invertível.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede: determinar os valores de
para os quais a matriz é invertível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão escrita para
mostra apenas uma única linha com sete entradas (ou seja, parece ser uma matriz de dimensão ). - Uma das entradas aparece como o texto literal
(há ambiguidade: isso pode ser um erro de digitação; pode querer dizer o produto ou então foi só um espaçamento acidental). Independentemente dessa ambiguidade, a expressão apresentada tem uma única linha com sete “blocos” de entrada. - A pergunta é sobre invertibilidade da matriz
.
Passo 2
Entender o que significa “matriz invertível” (aula rápida e necessária).
- Por definição, uma matriz
é dita invertível quando existe uma matriz tal que
onde
é a matriz identidade de ordem igual à de
.
- Isso exige que
seja uma matriz quadrada: se tem dimensão , então é . Para matrizes não quadradas não existe uma matriz inversa bilateral (à esquerda e à direita) que produza a identidade quadrada. Portanto, ser quadrada é uma condição necessária para ser invertível no sentido usual. - Outra forma prática (para matrizes quadradas) é:
é invertível se, e somente se, . Para matrizes isso reduz a um escalar não nulo; para há a fórmula conhecida etc. Mas todas essas noções pressupõem matriz quadrada.
Passo 3
Aplicando isso ao caso dado.
- A matriz apresentada tem uma única linha com sete entradas, portanto tem dimensão
. Uma matriz não é quadrada (pois ). - Logo, no sentido padrão de “matriz inversa” (inversa bilateral que satisfaz
), uma matriz não quadrada não pode ser invertida. Conclusão imediata: tal como está escrita, não existe nenhum valor de que torne invertível, porque a condição básica (ser quadrada) falha.
Passo 4
Explicação didática sobre casos parecidos (para não deixar dúvida na prova).
- Exemplo simples: uma matriz
é invertível exatamente quando seu único elemento é diferente de zero. Isto é, a matriz tem inversa se, e somente se, . - Exemplo
: para
a condição de invertibilidade é
.
- Mas para uma matriz
com não existe uma “inversa” que seja tanto à esquerda quanto à direita. Existe, em teoria, conceito de inversa à esquerda ou à direita e de pseudo-inversa (moore-penrose), mas isso não é o mesmo que a inversa clássica pedida normalmente em exercícios de álgebra linear.
Passo 5
Comentário sobre a ambiguidade do termo
e interpretações alternativas (sem inventar dados).
- Mesmo se interpretarmos a entrada ambígua
como , a matriz continua sendo uma única linha de sete entradas (dimensão ), logo o mesmo raciocínio vale: não é quadrada e não é invertível no sentido usual. - Se o enunciado pretendia dar outra matriz (por exemplo, uma matriz quadrada
cujas linhas/colunas não foram todas escritas), então faltam dados para determinar invertibilidade: para uma matriz quadrada precisa-se da matriz completa para calcular ou o posto. Como não é possível inventar as demais linhas/colunas, não se pode concluir nada nesse caso sem a informação adicional. (Aqui estou apenas explicando essa possibilidade; não estou assumindo que esse foi o caso.)
Resposta
A matriz, tal como apresentada (de dimensão
), não é quadrada e portanto não é invertível para nenhum valor de
.