1. Seja
A=\left[\begin{array}{lllllll} 1 & a & 10 & 1 & a a & 0 & 1 \end{array}\right]
Determine os valores de a para os quais a matriz é invertível.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{lllllll} 1 & a & 10 & 1 & a a & 0 & 1 \end{array}\right]
e pede: determinar os valores de a para os quais a matriz é invertível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão escrita para A mostra apenas uma única linha com sete entradas (ou seja, parece ser uma matriz de dimensão 1\times7).
  • Uma das entradas aparece como o texto literal aa (há ambiguidade: isso pode ser um erro de digitação; pode querer dizer o produto a\cdot a=a^{2} ou então foi só um espaçamento acidental). Independentemente dessa ambiguidade, a expressão apresentada tem uma única linha com sete “blocos” de entrada.
  • A pergunta é sobre invertibilidade da matriz A.

Passo 2

Entender o que significa “matriz invertível” (aula rápida e necessária).
  • Por definição, uma matriz M é dita invertível quando existe uma matriz M^{-1} tal que
M M^{-1}=M^{-1}M=I,
onde I é a matriz identidade de ordem igual à de M.
  • Isso exige que M seja uma matriz quadrada: se M tem dimensão n\times n, então I é n\times n. Para matrizes não quadradas não existe uma matriz inversa bilateral (à esquerda e à direita) que produza a identidade quadrada. Portanto, ser quadrada é uma condição necessária para ser invertível no sentido usual.
  • Outra forma prática (para matrizes quadradas) é: M é invertível se, e somente se, \det(M)\neq 0. Para matrizes 1\times1 isso reduz a um escalar não nulo; para 2\times2 há a fórmula conhecida etc. Mas todas essas noções pressupõem matriz quadrada.

Passo 3

Aplicando isso ao caso dado.
  • A matriz apresentada tem uma única linha com sete entradas, portanto tem dimensão 1\times7. Uma matriz 1\times7 não é quadrada (pois 1\neq 7).
  • Logo, no sentido padrão de “matriz inversa” (inversa bilateral que satisfaz A A^{-1}=A^{-1}A=I), uma matriz não quadrada não pode ser invertida. Conclusão imediata: tal como A está escrita, não existe nenhum valor de a que torne A invertível, porque a condição básica (ser quadrada) falha.

Passo 4

Explicação didática sobre casos parecidos (para não deixar dúvida na prova).
  • Exemplo simples: uma matriz 1\times1 é invertível exatamente quando seu único elemento é diferente de zero. Isto é, a matriz [c] tem inversa [\tfrac{1}{c}] se, e somente se, c\neq 0.
  • Exemplo 2\times2: para
M=\begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix},
a condição de invertibilidade é \det(M)=ps-qr\neq 0.
  • Mas para uma matriz m\times n com m\neq n não existe uma “inversa” que seja tanto à esquerda quanto à direita. Existe, em teoria, conceito de inversa à esquerda ou à direita e de pseudo-inversa (moore-penrose), mas isso não é o mesmo que a inversa clássica pedida normalmente em exercícios de álgebra linear.

Passo 5

Comentário sobre a ambiguidade do termo aa e interpretações alternativas (sem inventar dados).
  • Mesmo se interpretarmos a entrada ambígua aa como a^{2}, a matriz continua sendo uma única linha de sete entradas (dimensão 1\times7), logo o mesmo raciocínio vale: não é quadrada e não é invertível no sentido usual.
  • Se o enunciado pretendia dar outra matriz (por exemplo, uma matriz quadrada 7\times7 cujas linhas/colunas não foram todas escritas), então faltam dados para determinar invertibilidade: para uma matriz quadrada precisa-se da matriz completa para calcular \det ou o posto. Como não é possível inventar as demais linhas/colunas, não se pode concluir nada nesse caso sem a informação adicional. (Aqui estou apenas explicando essa possibilidade; não estou assumindo que esse foi o caso.)

Resposta

A matriz, tal como apresentada (de dimensão 1\times7), não é quadrada e portanto não é invertível para nenhum valor de a.

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