\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{3}+x^{2}+5 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left(x^{3}+x^{2}+5x+1\right).
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é um polinômio em x: x^{3}+x^{2}+5x+1.
  • O ponto de interesse é x=1.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada com calma): polinômios são funções “bem comportadas” — são contínuos em todo lugar. Isso significa que o limite de um polinômio quando x tende a um ponto é simplesmente o valor do polinômio nesse ponto. Em outras palavras, para um polinômio p(x) e um ponto a,
\lim_{x\to a} p(x) = p(a).
Por que isso vale? Porque podemos usar leis de limites básicas: o limite da soma é a soma dos limites, o limite do produto é o produto dos limites, e
\lim_{x\to a} x = a,
então
\lim_{x\to a} x^{n} = a^{n}
para qualquer inteiro n\ge 0. Combinando essas propriedades, qualquer polinômio obedece à substituição direta.

Passo 3

Lembrando as leis de limite que usaremos (explicação simples):
  • Se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x).
  • Se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então \lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x)) = \lim_{x\to a} f(x) \cdot \lim_{x\to a} g(x).
  • Para a função identidade f(x)=x, tem-se \lim_{x\to a} x = a. Assim, por multiplicação repetida, \lim_{x\to a} x^{n} = a^{n}.
Essas regras permitem avaliar limites de polinômios por substituição direta.

Passo 4

Aplicando essas ideias ao nosso polinômio, calculamos os limites de cada termo quando x\to 1:
\lim_{x\to 1} x^{3} = 1^{3} = 1,
\lim_{x\to 1} x^{2} = 1^{2} = 1,
\lim_{x\to 1} 5x = 5\cdot\lim_{x\to 1} x = 5\cdot 1 = 5,
\lim_{x\to 1} 1 = 1.

Passo 5

Somando os resultados term a term (usando que o limite da soma é a soma dos limites):
\lim_{x\to 1}\left(x^{3}+x^{2}+5x+1\right) = 1 + 1 + 5 + 1 = 8.

Resposta

8

Exercícios relacionados