1. Seja
T: P_{2} \rightarrow P_{2}
com
T(p(x))=p^{\prime}(x)+p(x)
Determine:
a) a matriz de T
b) o núcleo
c) a imagem
d) os autovalores

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
T: P_{2} \rightarrow P_{2}
definido por
T(p(x))=p^{\prime}(x)+p(x).
As perguntas pedidas são:
a) determinar a matriz de T (em relação à base canônica usual de P_{2});
b) determinar o núcleo \ker(T);
c) determinar a imagem \operatorname{Im}(T);
d) encontrar os autovalores de T.
Informações relevantes fornecidas: o espaço P_{2} é o espaço de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 (dimensão 3) e a ação de T em qualquer polinômio é somar a derivada com o próprio polinômio.

Passo 2

Escolhemos a base canônica habitual de P_{2}:
\mathcal{B}=(1,\;x,\;x^{2}).
Explicando a ideia (passo didático): para representar um operador linear por matriz numa base, aplicamos o operador a cada vetor da base e escrevemos o resultado em coordenadas relativas à mesma base. Essas coordenadas formam as colunas da matriz.
Vamos calcular T aplicado a cada elemento da base:
  • Para p(x)=1: p'(x)=0. Logo
T(1)=0+1=1.
  • Para p(x)=x: p'(x)=1. Logo
T(x)=1+x.
  • Para p(x)=x^{2}: p'(x)=2x. Logo
T(x^{2})=2x+x^{2}.
Agora escrevemos cada T(\text{vetor da base}) como combinação linear da base \mathcal{B}:
T(1)=1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^{2},
T(x)=1\cdot 1 + 1\cdot x + 0\cdot x^{2},
T(x^{2})=0\cdot 1 + 2\cdot x + 1\cdot x^{2}.

Passo 3

Formamos a matriz de T na base \mathcal{B} colocando essas coordenadas como colunas (coluna j = coordenadas de T aplicado ao j-ésimo vetor da base):
[T]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Comentário didático: essa matriz é triangular superior; os elementos da diagonal são os autovalores (contando multiplicidade algébrica) quando a matriz está em forma triangular.]

Passo 4

Calculamos o núcleo [\ker(T)={p\in P_{2}\mid T§=0}).
Seja um polinômio geral p(x)=ax^{2}+bx+c com a,b,c escalares. Então
p'(x)=2ax+b,
portanto
T(p)=p'+p = ax^{2}+(2a+b)x+(b+c).
Para que T(p)=0 (o polinômio nulo), cada coeficiente deve ser zero. Igualando coeficientes:
\begin{cases} a=0,\\[4pt] 2a+b=0,\\[4pt] b+c=0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=0\]. Substituindo em \(2a+b=0 b=0. Então de b+c=0 segue c=0. Assim a=b=c=0, ou seja, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo.
Logo
\ker(T)=\{0\}.
Explicação extra (didática): um núcleo trivial indica que T é injetora; como o espaço tem dimensão 3, uma aplicação linear injetora entre espaços de mesma dimensão é, na verdade, inversível.]

Passo 5

Determinamos a imagem \operatorname{Im}(T).
Usando o Teorema da Dimensão (teorema do posto-nulidade): para um operador linear de um espaço de dimensão 3, vale
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(P_{2})=3.
Como \dim(\ker(T))=0, segue \dim(\operatorname{Im}(T))=3. Logo \operatorname{Im}(T) é um subespaço de dimensão 3 dentro de P_{2} (que também tem dimensão 3), portanto
\operatorname{Im}(T)=P_{2}.
Observação alternativa (mais direta): a matriz de T é triangular com produto dos elementos da diagonal igual a 1, logo \det([T]_{\mathcal{B}})=1\neq 0, o que mostra que a matriz é invertível e que a imagem é todo o espaço.

Passo 6

Encontramos os autovalores (e discutimos os autovetores).
Autovalores \lambda satisfazem \det([T]_{\mathcal{B}}-\lambda I)=0.
Como [T]_{\mathcal{B}} é triangular, o polinômio característico é
\det\!\big([T]_{\mathcal{B}}-\lambda I\big)=(1-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda)=(1-\lambda)^{3}.
Portanto o único autovalor é
\lambda=1,
com multiplicidade algébrica 3.
Agora os autovetores (espaço próprio) para \lambda=1 satisfazem (T-I)p=0, isto é
p'(x)=0.
Para p(x)=ax^{2}+bx+c ter p'(x)=0 para todo x força 2a x + b = 0 para todo x, logo a=0 e b=0, deixando c livre. Assim os autovetores associados a \lambda=1 são exatamente os polinômios constantes:
\{c\in\mathbb{R}\}\quad\text{(subespaço de dimensão 1).}çã
Conclusão didática: a multiplicidade geométrica do autovalor 1 é 1 (espaço próprio de dimensão 1) enquanto sua multiplicidade algébrica é 3, portanto T não é diagonalizável.

Resposta

a) [T]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
b) \ker(T)=\{0\}
c) \operatorname{Im}(T)=P_{2}
d) autovalores: \lambda=1 (multiplicidade algébrica 3); espaço próprio correspondente = polinômios constantes (dimensão 1).]

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